Номер 16.8, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.8. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите тангенс угла между прямой $CC_1$ и плоскостью $AB_1 D_1$.

16.9. В правильной треугольной призме

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$ куба. Направим оси координат вдоль ребер: ось $Ox$ вдоль $DA$, ось $Oy$ вдоль $DC$ и ось $Oz$ вдоль $DD_1$. Примем длину ребра куба за $a$.

В этой системе координат вершины, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты:

$A = (a, 0, 0)$

$C = (0, a, 0)$

$D_1 = (0, 0, a)$

$B_1 = (a, a, a)$

$C_1 = (0, a, a)$

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Найдем синус этого угла. Пусть искомый угол равен $\alpha$.

Направляющим вектором прямой $CC_1$ является вектор $\vec{v} = \vec{CC_1} = (0-0, a-a, a-0) = (0, 0, a)$. Для удобства можно использовать коллинеарный ему единичный вектор $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Далее найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $AB_1D_1$. Для этого определим два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{D_1A}$ и $\vec{D_1B_1}$.

$\vec{D_1A} = (a-0, 0-0, 0-a) = (a, 0, -a)$

$\vec{D_1B_1} = (a-0, a-0, a-a) = (a, a, 0)$

Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен этим векторам, и его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{D_1A} \times \vec{D_1B_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & -a \\ a & a & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 - (-a) \cdot a)\mathbf{i} - (a \cdot 0 - (-a) \cdot a)\mathbf{j} + (a \cdot a - 0 \cdot a)\mathbf{k} = a^2\mathbf{i} - a^2\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = (a^2, -a^2, a^2)$.

В качестве вектора нормали можно взять коллинеарный ему вектор, разделив координаты на $a^2$: $\vec{n} = (1, -1, 1)$.

Синус угла $\alpha$ между прямой с направляющим вектором $\vec{k}$ и плоскостью с вектором нормали $\vec{n}$ вычисляется по формуле:

$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{k} \cdot \vec{n}|}{||\vec{k}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим необходимые значения:

Скалярное произведение: $\vec{k} \cdot \vec{n} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 1$.

Модуль вектора $\vec{k}$: $||\vec{k}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.

Модуль вектора $\vec{n}$: $||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Подставим найденные значения в формулу для синуса:

$\sin(\alpha) = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

По условию задачи требуется найти тангенс угла. Зная синус, найдем косинус. Угол между прямой и плоскостью находится в пределах от $0$ до $90^\circ$, поэтому его косинус неотрицателен.

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Теперь можем найти тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{2}/\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.