Номер 16.7, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.7. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1 (рис. 16.5). Найдите косинус угла между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$.

Рис. 16.5

Обозначим искомый угол между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$ как $\alpha$. По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Поскольку пирамида $SABCD$ правильная, её основание $ABCD$ является квадратом. В квадрате стороны $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$). Следовательно, угол между прямой $AB$ и плоскостью $SBC$ равен углу между прямой $DC$ и той же плоскостью $SBC$.

Найдём угол между прямой $DC$ и плоскостью $SBC$. Точка $C$ принадлежит плоскости $SBC$. Чтобы найти проекцию прямой $DC$ на эту плоскость, опустим перпендикуляр из точки $D$ на плоскость $SBC$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Тогда прямая $HC$ является проекцией прямой $DC$ на плоскость $SBC$, а искомый угол $\alpha$ равен углу $\angle DCH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DHC$ (угол $\angle DHC = 90^\circ$, так как $DH$ — перпендикуляр к плоскости $SBC$). В этом треугольнике $\sin(\alpha) = \frac{DH}{DC}$. По условию, все рёбра пирамиды равны 1, значит, $DC=1$. Таким образом, $\sin(\alpha) = DH$. Нам нужно найти длину перпендикуляра $DH$.

Длину $DH$ можно найти, вычислив объём тетраэдра $DSBC$ двумя способами.

Способ 1: Примем грань $SBC$ за основание тетраэдра. Высотой будет перпендикуляр $DH$. Грань $SBC$ — равносторонний треугольник со стороной 1. Его площадь равна $S_{SBC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$. Объём тетраэдра $V_{DSBC} = \frac{1}{3} S_{SBC} \cdot DH = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot DH = \frac{\sqrt{3}}{12} DH$.

Способ 2: Примем грань $BCD$ за основание тетраэдра. Высотой будет высота пирамиды $SO$, где $O$ — центр квадрата $ABCD$. Грань $BCD$ — это прямоугольный треугольник с катетами $BC=1$ и $CD=1$. Его площадь равна $S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Найдём высоту пирамиды $SO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. Гипотенуза $SA=1$ (боковое ребро). Катет $AO$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Тогда $AO = \frac{\sqrt{2}}{2}$. По теореме Пифагора: $SO^2 = SA^2 - AO^2 = 1^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Отсюда высота $SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Объём тетраэдра $V_{DSBC} = \frac{1}{3} S_{BCD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{12}$.

Приравняем выражения для объёма, полученные двумя способами: $\frac{\sqrt{3}}{12} DH = \frac{\sqrt{2}}{12}$ Отсюда $DH = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Так как $\sin(\alpha) = DH$, то $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{3}$. Нам нужно найти косинус угла $\alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{\sqrt{6}}{3})^2 = 1 - \frac{6}{9} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Поскольку угол между прямой и плоскостью является острым, его косинус положителен. $\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.