Номер 16.4, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.4. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 16.6). Найдите угол между:

а) прямой $AB_1$ и плоскостью $ABC$;

б) прямой $AB_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Рис. 16.6

По условию, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основаниях лежат равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со стороной 1, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ равны 1 и перпендикулярны основаниям.

а) Найдем угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $ABC$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Найдем проекцию прямой $AB_1$ на плоскость основания $ABC$.

Точка $A$ принадлежит плоскости $ABC$, поэтому ее проекция — сама точка $A$.

Так как призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, точка $B$ является ортогональной проекцией точки $B_1$ на плоскость $ABC$.

Таким образом, прямая $AB$ является проекцией прямой $AB_1$ на плоскость $ABC$.

Искомый угол — это угол между прямой $AB_1$ и ее проекцией $AB$, то есть угол $\angle B_1AB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle B_1AB$. Так как $BB_1 \perp$ плоскости $ABC$, то $BB_1 \perp AB$. Следовательно, $\triangle B_1AB$ — прямоугольный с прямым углом $\angle B_1BA$.

По условию, катеты этого треугольника равны: $AB = 1$ и $BB_1 = 1$.

Найдем тангенс угла $\angle B_1AB$:

$\tan(\angle B_1AB) = \frac{BB_1}{AB} = \frac{1}{1} = 1$.

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

б) Найдем угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$.

Аналогично пункту а), найдем проекцию прямой $AB$ на плоскость боковой грани $BCC_1$.

Точка $B$ принадлежит плоскости $BCC_1$, поэтому ее проекция — сама точка $B$.

Найдем проекцию точки $A$ на плоскость $BCC_1$. Для этого опустим перпендикуляр из точки $A$ на эту плоскость.

Проведем в основании $ABC$ высоту $AM$ к стороне $BC$. Так как $\triangle ABC$ — равносторонний, высота $AM$ является также и медианой, поэтому $M$ — середина $BC$.

Поскольку призма правильная, плоскость основания $ABC$ перпендикулярна плоскости боковой грани $BCC_1$, и линия их пересечения — прямая $BC$.

Так как $AM$ лежит в плоскости $ABC$ и $AM \perp BC$, то $AM$ перпендикулярен всей плоскости $BCC_1$.

Следовательно, точка $M$ является проекцией точки $A$ на плоскость $BCC_1$.

Проекцией прямой $AB$ на плоскость $BCC_1$ является прямая $BM$.

Искомый угол — это угол между прямой $AB$ и ее проекцией $BM$, то есть угол $\angle ABM$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABM$. Так как $AM \perp$ плоскости $BCC_1$, то $AM \perp BM$. Значит, $\triangle ABM$ — прямоугольный с прямым углом $\angle AMB$.

В этом треугольнике гипотенуза $AB=1$ (по условию). Катет $BM$ равен половине стороны $BC$, так как $AM$ — медиана. $BM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Найдем косинус угла $\angle ABM$:

$\cos(\angle ABM) = \frac{BM}{AB} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.