Номер 16.2, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите тангенс угла между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$ (рис. 16.4).

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. В данной задаче нам нужно найти тангенс угла между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$.

1. Найдем проекцию прямой $BD_1$ на плоскость $ABC$.

Плоскость $ABC$ является плоскостью нижнего основания куба $ABCD$.

Точка $B$ уже лежит в плоскости $ABC$, поэтому проекцией точки $B$ на эту плоскость является сама точка $B$.

Чтобы найти проекцию точки $D_1$ на плоскость $ABC$, нужно опустить перпендикуляр из $D_1$ на эту плоскость. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, то боковое ребро $D_1D$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, точка $D$ является ортогональной проекцией точки $D_1$ на плоскость $ABC$.

Таким образом, прямая $BD$ является проекцией прямой $BD_1$ на плоскость $ABC$.

2. Определим искомый угол.

Искомый угол — это угол между наклонной $BD_1$ и ее проекцией $BD$. Обозначим этот угол как $\alpha = \angle D_1BD$.

3. Рассмотрим треугольник, содержащий этот угол.

Угол $\angle D_1BD$ является углом в треугольнике $\triangle D_1DB$. Поскольку $D_1D \perp$ плоскости $ABC$, то $D_1D$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $BD$. Это означает, что $\triangle D_1DB$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle D_1DB = 90^\circ$.

4. Вычислим тангенс угла.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

$\text{tg}(\alpha) = \text{tg}(\angle D_1BD) = \frac{D_1D}{BD}$

Пусть ребро куба равно $a$. Тогда:

• Катет $D_1D$ — это ребро куба, поэтому $D_1D = a$.

• Катет $BD$ — это диагональ квадрата $ABCD$ в основании. По теореме Пифагора для $\triangle ABD$ (или по формуле диагонали квадрата): $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Подставим найденные длины в формулу для тангенса:

$\text{tg}(\alpha) = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.