Номер 16.6, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра равны 1 (рис. 16.8). Найдите угол между:

а) прямой $AB$ и плоскостью $ABC$;

б) прямой $AC_1$ и плоскостью $ABC$;

в) прямой $AA_1$ и плоскостью $ACD_1$.

Рис. 16.8

По условию задачи дана правильная шестиугольная призма, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основаниях лежат правильные шестильники со стороной 1, а боковые ребра, перпендикулярные основаниям, также равны 1.

а) Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Найдем угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $ABC$.

Прямая $AB_1$ является наклонной к плоскости основания $ABC$. Точка $A$ принадлежит этой плоскости. Чтобы найти проекцию прямой $AB_1$ на плоскость $ABC$, нужно опустить перпендикуляр из точки $B_1$ на эту плоскость.

Так как призма правильная, она является прямой, и ее боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, точка $B$ является проекцией точки $B_1$ на плоскость $ABC$.

Таким образом, проекцией наклонной $AB_1$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AB$. Искомый угол — это угол между прямой $AB_1$ и её проекцией $AB$, то есть угол $\angle B_1AB$.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Он прямоугольный, так как $\angle ABB_1 = 90^{\circ}$ ($BB_1 \perp$ плоскости $ABC$). Катеты этого треугольника равны: $AB = 1$ (сторона основания) и $BB_1 = 1$ (боковое ребро).

Найдем тангенс угла $\angle B_1AB$: $ \text{tg}(\angle B_1AB) = \frac{BB_1}{AB} = \frac{1}{1} = 1 $

Следовательно, $\angle B_1AB = \text{arctg}(1) = 45^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}$.

б) Найдем угол между прямой $AC_1$ и плоскостью $ABC$.

Аналогично пункту а), проекцией наклонной $AC_1$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AC$. Искомый угол — это $\angle C_1AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$ ($\angle ACC_1 = 90^{\circ}$, так как $CC_1 \perp$ плоскости $ABC$). Катет $CC_1 = 1$ (боковое ребро). Для нахождения угла нам нужно найти длину катета $AC$.

$AC$ — это меньшая диагональ правильного шестильника $ABCDEF$. Найдем её длину из треугольника $ABC$. В правильном шестильнике все стороны равны 1, а внутренний угол равен $120^{\circ}$, то есть $\angle ABC = 120^{\circ}$.

По теореме косинусов для треугольника $ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$ $AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^{\circ}) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$ $AC = \sqrt{3}$

Теперь в прямоугольном треугольнике $ACC_1$ найдем тангенс угла $\angle C_1AC$: $\text{tg}(\angle C_1AC) = \frac{CC_1}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Следовательно, $\angle C_1AC = \text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$.

в) Найдем угол между прямой $AA_1$ и плоскостью $ACD_1$.

Боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Угол между прямой, перпендикулярной одной плоскости, и другой плоскостью равен дополнению до $90^{\circ}$ двугранного угла между этими плоскостями. То есть, если $\gamma$ — искомый угол, а $\delta$ — двугранный угол между плоскостями $ABC$ и $ACD_1$, то $\gamma = 90^{\circ} - \delta$.

Найдем двугранный угол $\delta$ между плоскостью основания $ABC$ и плоскостью $ACD_1$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AC$.

Чтобы найти двугранный угол, нужно построить линейный угол, то есть угол между двумя перпендикулярами к линии пересечения $AC$, проведенными в каждой из плоскостей из одной точки.

В плоскости основания $ABC$ рассмотрим треугольник $ACD$. Его стороны: $CD = 1$ (сторона шестильника), $AC = \sqrt{3}$ (из пункта б), $AD$ — большая диагональ шестильника, равная двум его сторонам, то есть $AD = 2$.

Проверим, является ли треугольник $ACD$ прямоугольным, с помощью теоремы Пифагора: $AC^2 + CD^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$ $AD^2 = 2^2 = 4$

Так как $AC^2 + CD^2 = AD^2$, треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, то есть $\angle ACD = 90^{\circ}$. Таким образом, в плоскости $ABC$ прямая $CD$ перпендикулярна прямой $AC$.

Теперь в плоскости $ACD_1$ найдем перпендикуляр к $AC$ в точке $C$. Так как призма прямая, боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно всей плоскости основания, а значит, и прямой $AC$, лежащей в этой плоскости ($DD_1 \perp AC$).

Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CD$ и $DD_1$ в плоскости $CDD_1$, она перпендикулярна всей этой плоскости. Следовательно, $AC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $CD_1$.

Значит, $\angle DCD_1$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $ACD_1$. Найдем его величину.

Рассмотрим треугольник $CDD_1$. Он прямоугольный, так как $\angle CDD_1 = 90^{\circ}$. Катеты $CD = 1$ и $DD_1 = 1$. $\text{tg}(\angle DCD_1) = \frac{DD_1}{CD} = \frac{1}{1} = 1$ Следовательно, двугранный угол $\delta = \angle DCD_1 = 45^{\circ}$.

Искомый угол $\gamma$ между прямой $AA_1$ и плоскостью $ACD_1$ равен: $\gamma = 90^{\circ} - \delta = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}$.