Номер 16.12, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

16.12. Попробуйте определить понятие угла между двумя пересекающимися плоскостями.

16.12. Понятие угла между двумя пересекающимися плоскостями можно определить через построение так называемого линейного угла двугранного угла.

Две пересекающиеся плоскости, назовем их $\alpha$ и $\beta$, пересекаются по прямой линии, которую называют ребром двугранного угла. Сам двугранный угол — это фигура в пространстве, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.

Чтобы измерить этот пространственный угол, его сводят к измерению плоского угла. Для этого выполняют следующее построение:
1. На ребре $c$ (линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$) выбирают произвольную точку $O$.
2. В плоскости $\alpha$ проводят луч $OA$, перпендикулярный ребру $c$ ($OA \perp c$).
3. В плоскости $\beta$ проводят луч $OB$, также перпендикулярный ребру $c$ ($OB \perp c$).

Угол $\angle AOB$, образованный этими двумя лучами, называется линейным углом двугранного угла. Важно, что его величина не зависит от того, какую именно точку $O$ на ребре $c$ мы выбрали.

Определение: Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется градусная или радианная мера их линейного угла.

При пересечении двух плоскостей образуется две пары смежных и вертикальных двугранных углов. По соглашению, за угол между плоскостями всегда принимают величину острого или прямого угла. Таким образом, если $\phi$ — угол между плоскостями, то его значение всегда находится в пределах $0^\circ < \phi \leq 90^\circ$. Если угол между плоскостями равен $90^\circ$, то такие плоскости называются перпендикулярными.

Существует и другой, аналитический, способ определения угла — через нормальные векторы. Нормальный вектор к плоскости — это любой вектор, перпендикулярный ей. Если $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ — нормальные векторы к плоскостям $\alpha$ и $\beta$, то косинус угла $\phi$ между плоскостями находится по формуле:
$\cos\phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$
Использование модуля в числителе как раз и обеспечивает получение острого или прямого угла.

Ответ: Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется величина меньшего из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Эта величина равна углу между двумя лучами, проведенными в данных плоскостях из одной точки на линии их пересечения и перпендикулярно этой линии. Угол между плоскостями может принимать значения от $0^\circ$ (не включая, так как плоскости пересекаются) до $90^\circ$ включительно.