Номер 17.4, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.4. Найдите двугранные углы, образованные соседними боковыми гранями правильной треугольной призмы (рис. 17.12).

Рис. 17.12

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. По определению, правильная призма является прямой призмой, в основании которой лежит правильный многоугольник. В нашем случае основание — правильный (равносторонний) треугольник $ABC$.

Боковыми гранями призмы являются прямоугольники $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и $ACC_1A_1$. Нам необходимо найти двугранные углы между соседними боковыми гранями.

Рассмотрим двугранный угол, образованный соседними боковыми гранями $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$. Эти грани пересекаются по боковому ребру $AA_1$.

Для определения величины двугранного угла построим его линейный угол. Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, проведенными в плоскостях граней перпендикулярно их линии пересечения из одной точки на этой линии.

Так как призма правильная, то она прямая. Это означает, что ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$.

Выберем на ребре $AA_1$ точку $A$. В плоскости грани $ABB_1A_1$ проведем прямую через точку $A$ перпендикулярно ребру $AA_1$. Такой прямой является сторона основания $AB$, так как $AB$ лежит в плоскости $ABC$, а $AA_1 \perp (ABC)$, значит $AA_1 \perp AB$.

Аналогично, в плоскости грани $ACC_1A_1$ проведем прямую через точку $A$ перпендикулярно ребру $AA_1$. Такой прямой является сторона основания $AC$, так как $AC$ лежит в плоскости $ABC$, а $AA_1 \perp (ABC)$, значит $AA_1 \perp AC$.

Таким образом, линейным углом двугранного угла между гранями $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$ является угол между отрезками $AB$ и $AC$, то есть угол $\angle BAC$.

По условию, в основании призмы лежит правильный треугольник $ABC$. В правильном (равностороннем) треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle BAC = 60^\circ$.

В силу симметрии правильной призмы все двугранные углы между соседними боковыми гранями равны. Линейным углом двугранного угла при ребре $BB_1$ будет $\angle ABC = 60^\circ$, а при ребре $CC_1$ — $\angle BCA = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.