Номер 17.9, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.9. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите косинус угла между плоскостями $ACB_1$ и $ACD_1$.

17.10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$

Для нахождения косинуса угла между плоскостями $ACB_1$ и $ACD_1$ воспользуемся классическим геометрическим методом. Угол между двумя пересекающимися плоскостями измеряется линейным углом соответствующего двугранного угла. Линейный угол — это угол между двумя лучами, проведенными в плоскостях из одной точки на линии их пересечения перпендикулярно этой линии.

Нахождение линии пересечения плоскостей
Плоскости $ACB_1$ и $ACD_1$ имеют две общие точки — $A$ и $C$. Следовательно, они пересекаются по прямой $AC$, которая является диагональю нижнего основания куба.

Построение линейного угла двугранного угла
Пусть $O$ — центр квадрата $ABCD$, то есть точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.В плоскости основания $ABCD$ диагонали перпендикулярны, следовательно, $BO \perp AC$.Ребро куба $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе $BB_1 \perp AC$.Так как прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BO$ и $BB_1$) в плоскости $BB_1D_1D$, то она перпендикулярна всей этой плоскости.Прямая $B_1O$ лежит в плоскости $BB_1D_1D$, поэтому $B_1O \perp AC$. Прямая $B_1O$ лежит в плоскости $ACB_1$.Аналогично, в плоскости основания $DO \perp AC$. Ребро $DD_1 \perp AC$. Значит, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BB_1D_1D$, в которой лежит прямая $D_1O$. Следовательно, $D_1O \perp AC$. Прямая $D_1O$ лежит в плоскости $ACD_1$.Таким образом, угол $\angle B_1OD_1$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ACB_1$ и $ACD_1$. Нам нужно найти косинус этого угла.

Вычисление элементов треугольника $B_1OD_1$
Примем длину ребра куба за $a$.Диагональ основания $BD = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.Так как $O$ — середина диагонали $BD$, то $BO = DO = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $BB_1O$ (угол $\angle B_1BO = 90^\circ$, так как $BB_1$ перпендикулярно основанию). По теореме Пифагора:$B_1O^2 = BB_1^2 + BO^2 = a^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2 + \frac{2a^2}{4} = a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2}$.Значит, $B_1O = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.Треугольник $DD_1O$ равен треугольнику $BB_1O$, поэтому $D_1O = B_1O = a\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.Сторона $B_1D_1$ является диагональю верхнего основания куба, поэтому ее длина равна $B_1D_1 = a\sqrt{2}$.

Нахождение косинуса искомого угла
Рассмотрим треугольник $B_1OD_1$. Мы знаем длины всех его сторон: $B_1O = D_1O = a\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ и $B_1D_1 = a\sqrt{2}$.Применим теорему косинусов для нахождения $\cos(\angle B_1OD_1)$:$B_1D_1^2 = B_1O^2 + D_1O^2 - 2 \cdot B_1O \cdot D_1O \cdot \cos(\angle B_1OD_1)$$(a\sqrt{2})^2 = \left(\frac{3a^2}{2}\right) + \left(\frac{3a^2}{2}\right) - 2 \cdot \left(a\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(a\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) \cdot \cos(\angle B_1OD_1)$$2a^2 = 3a^2 - 2 \cdot \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\angle B_1OD_1)$$2a^2 = 3a^2 - 3a^2 \cdot \cos(\angle B_1OD_1)$$3a^2 \cdot \cos(\angle B_1OD_1) = 3a^2 - 2a^2$$3a^2 \cdot \cos(\angle B_1OD_1) = a^2$$\cos(\angle B_1OD_1) = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$