Номер 17.14, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.14. Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 230 м, а высота около 138 м (рис. 17.16). Найдите тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием этой пирамиды. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите приближенное значение этого угла.

Рис. 17.16

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание со стороной $a = 230$ м, а $S$ — вершина. Высота пирамиды $SO$ опускается в центр основания $O$ и равна $H = 138$ м.

Найдите тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием этой пирамиды.

Двугранный угол между боковой гранью (например, $SCD$) и основанием ($ABCD$) измеряется линейным углом. Для его построения проведем апофему боковой грани $SM$, где $M$ — середина ребра основания $CD$. Так как пирамида правильная, треугольник $SCD$ является равнобедренным, и его медиана $SM$ является также и высотой, то есть $SM \perp CD$. В плоскости основания проведем отрезок $OM$. Так как $O$ — центр квадрата, а $M$ — середина стороны $CD$, то $OM$ перпендикулярен $CD$. Таким образом, угол $\angle SMO$ является искомым линейным углом. Обозначим его $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$, в котором $\angle SOM = 90^\circ$. Катет $SO$ — это высота пирамиды, $SO = 138$ м. Катет $OM$ — это половина стороны основания, так как $O$ — центр квадрата. Следовательно, $OM = \frac{a}{2} = \frac{230}{2} = 115$ м.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Для угла $\alpha$ получаем: $tg(\alpha) = \frac{SO}{OM} = \frac{138}{115} = 1.2$.

Ответ: Тангенс двугранного угла равен 1,2.

Используя таблицу тригонометрических функций, найдите приближенное значение этого угла.

Нам известно, что $tg(\alpha) = 1.2$. Чтобы найти угол $\alpha$, обратимся к таблице тангенсов. В таблице находим значения, наиболее близкие к 1,2: $tg(50^\circ) \approx 1.1918$ и $tg(51^\circ) \approx 1.2349$.

Поскольку $1.1918 < 1.2 < 1.2349$, можно заключить, что $50^\circ < \alpha < 51^\circ$. Для нахождения более точного значения сравним, к какому из табличных значений наше число ближе. Разница с $tg(50^\circ)$ составляет $1.2 - 1.1918 = 0.0082$. Разница с $tg(51^\circ)$ составляет $1.2349 - 1.2 = 0.0349$. Так как $0.0082$ меньше, чем $0.0349$, значение $tg(\alpha) = 1.2$ значительно ближе к $tg(50^\circ)$. Таким образом, приближенное значение угла составляет около $50^\circ$.

Ответ: Приближенное значение угла около $50^\circ$.