Номер 17.13, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.13. У правильной шестиугольной пирамиды стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 17.15). Найдите тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием пирамиды.

Рис. 17.15

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ с вершиной $S$ и центром основания $O$. По условию, стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2. То есть, $AB = BC = \dots = FA = 1$, и $SA = SB = \dots = SF = 2$.

Двугранный угол, образованный боковой гранью и основанием пирамиды, — это угол между плоскостью боковой грани (например, плоскостью $(SAB)$) и плоскостью основания $(ABC)$. Линией пересечения этих плоскостей является ребро основания $AB$.

Для измерения этого двугранного угла построим его линейный угол. Для этого в точке на ребре $AB$ восстановим два перпендикуляра к этому ребру: один в плоскости боковой грани, другой — в плоскости основания.

1. В боковой грани $SAB$, которая является равнобедренным треугольником ($SA=SB=2$), проведем апофему (высоту) $SH$ к основанию $AB$. Так как треугольник $SAB$ равнобедренный, медиана $SH$ является и высотой, то есть $SH \perp AB$. Точка $H$ — середина отрезка $AB$.

2. В плоскости основания проведем отрезок $OH$, где $O$ — центр правильного шестиугольника. Этот отрезок является апофемой основания. В правильном многоугольнике апофема, проведенная к стороне, перпендикулярна этой стороне. Следовательно, $OH \perp AB$.

Поскольку $SH \perp AB$ и $OH \perp AB$, угол $\angle SHO$ является линейным углом искомого двугранного угла. Найдем его тангенс.

Рассмотрим треугольник $SOH$. Так как пирамида правильная, ее высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и $OH$. Таким образом, треугольник $SOH$ — прямоугольный с прямым углом $\angle SOH$.

Тангенс угла $\angle SHO$ в прямоугольном треугольнике $SOH$ равен отношению противолежащего катета $SO$ к прилежащему катету $OH$:

$\tan(\angle SHO) = \frac{SO}{OH}$

Найдем длины катетов $SO$ и $OH$.

Нахождение $OH$:

Основание пирамиды — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1. Этот шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников. Рассмотрим один из них — $\triangle OAB$. Его стороны равны $OA = OB = AB = 1$. Отрезок $OH$ является высотой в этом равностороннем треугольнике. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$OH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нахождение $SO$:

Высоту пирамиды $SO$ найдем из прямоугольного треугольника $SOA$. Катет $OA$ — это радиус окружности, описанной около основания, и для правильного шестиугольника он равен стороне, то есть $OA = 1$. Гипотенуза $SA$ — это боковое ребро пирамиды, $SA = 2$. По теореме Пифагора:

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

$2^2 = SO^2 + 1^2$

$4 = SO^2 + 1$

$SO^2 = 3$

$SO = \sqrt{3}$

Вычисление тангенса:

Теперь мы можем вычислить тангенс искомого угла:

$\tan(\angle SHO) = \frac{SO}{OH} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2$.

Ответ: $2$.