Номер 17.12, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 17. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава II. Угол в пространстве. Расстояние в пространстве - номер 17.12, страница 91.

Условия.

17.12. У правильной четырехугольной пирамиды все ребра равны (рис. 17.14). Найдите тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием пирамиды.

Рис. 17.14

Решение.

Решение 2.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида S-ABCD, где S – вершина, а ABCD – квадрат в основании. По условию, все ребра пирамиды равны. Обозначим длину ребра как $a$. Таким образом, $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = a$.

Следовательно, основание пирамиды — это квадрат со стороной $a$, а боковые грани — это равносторонние треугольники со стороной $a$.

Нам нужно найти тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием. Этот угол является углом между плоскостью боковой грани (например, SBC) и плоскостью основания (ABCD). Линия пересечения этих плоскостей — ребро BC.

Для нахождения этого угла построим его линейный угол. Для этого опустим два перпендикуляра к общему ребру BC в одной и той же точке M, по одному в каждой плоскости.

1. Пусть O — центр квадрата ABCD. Проведем в плоскости основания отрезок OM, где M — середина стороны BC. Так как O — центр квадрата, OM перпендикулярен BC ($OM \perp BC$). Длина OM равна половине стороны квадрата: $OM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$.

2. В плоскости боковой грани SBC проведем апофему SM. Поскольку треугольник SBC равносторонний, его медиана SM, проведенная к середине стороны BC, также является его высотой. Следовательно, $SM \perp BC$. Длину апофемы SM можно найти по формуле высоты равностороннего треугольника: $SM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Угол $\angle SMO$ является линейным углом искомого двугранного угла, так как его стороны OM и SM перпендикулярны ребру BC.

Чтобы найти тангенс угла $\angle SMO$, рассмотрим прямоугольный треугольник SOM. В этом треугольнике SO — высота пирамиды, и она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и отрезку OM. Следовательно, $\angle SOM = 90^\circ$.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}$

Прилежащий катет OM нам известен: $OM = \frac{a}{2}$. Найдем длину противолежащего катета SO (высоту пирамиды) из треугольника SOM по теореме Пифагора:$SO^2 = SM^2 - OM^2$

Подставим известные значения длин SM и OM:$SO^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

$SO = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Теперь мы можем вычислить тангенс искомого угла:$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$