Вопросы, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется вектором?

2. Какой вектор называется нулевым?

3. Какие два вектора называются коллинеарными?

4. Что называется длиной (модулем) вектора?

5. Какие два вектора называются равными?

6. Как определяется операция сложения векторов?

7. Сформулируйте переместительный закон сложения векторов.

8. Сформулируйте сочетательный закон сложения векторов.

9. Как определяется произведение вектора на число?

10. Как обозначается произведение вектора на число?

11. Какой вектор называется противоположным данному вектору? Как он обозначается?

12. Что называется разностью двух векторов? Как она обозначается?

13. Сформулируйте сочетательный закон умножения вектора на число.

14. Сформулируйте первый распределительный закон умножения вектора на число.

15. Сформулируйте второй распределительный закон умножения вектора на число.

1. Что называется вектором?

Вектором, или направленным отрезком, называется отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом. Вектор характеризуется своим направлением и длиной (модулем). Векторы обычно обозначают строчными латинскими буквами со стрелкой наверху, например, $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, или двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой, где первая буква — начало вектора, а вторая — его конец, например, $\vec{AB}$.

Ответ: Вектором называется направленный отрезок.

2. Какой вектор называется нулевым?

Нулевым вектором (или нуль-вектором) называется вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают. Длина такого вектора равна нулю, а направление не определено. Нулевой вектор обозначается как $\vec{0}$ или $\vec{AA}$. При сложении с любым вектором $\vec{a}$ он не изменяет его: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

Ответ: Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю.

3. Какие два вектора называются коллинеарными?

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными (иметь одинаковое направление) или противоположно направленными (иметь противоположные направления). Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число $k$, что $\vec{b} = k\vec{a}$.

Ответ: Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

4. Что называется длиной (модулем) вектора?

Длиной, или модулем, вектора $\vec{AB}$ называется длина отрезка $AB$. Длина вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$. Длина нулевого вектора равна нулю: $|\vec{0}|=0$. Если вектор задан своими координатами в прямоугольной системе, например, $\vec{a} = (x, y, z)$, то его длина вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Ответ: Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего этот вектор.

5. Какие два вектора называются равными?

Два вектора называются равными, если они сонаправлены (являются коллинеарными и имеют одинаковое направление) и их длины равны. Если векторы заданы координатами, $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$, то они равны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты равны, то есть $x_1 = x_2$ и $y_1 = y_2$. Равенство векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ записывают как $\vec{a} = \vec{b}$.

Ответ: Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

6. Как определяется операция сложения векторов?

Операция сложения векторов может быть определена несколькими способами.
Правило треугольника: для сложения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ нужно от конца вектора $\vec{a}$ отложить вектор $\vec{b}$. Тогда вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ будет направлен от начала вектора $\vec{a}$ к концу вектора $\vec{b}$.
Правило параллелограмма: если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ отложены от одной точки, то их сумма $\vec{a} + \vec{b}$ есть вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах, и исходящий из их общего начала.
Координатный способ: если $\vec{a}=(x_1, y_1)$ и $\vec{b}=(x_2, y_2)$, то их сумма $\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2, y_1+y_2)$.

Ответ: Сложение векторов определяется по правилу треугольника (от конца первого вектора откладывается второй, сумма — вектор от начала первого к концу второго) или по правилу параллелограмма (сумма — диагональ параллелограмма, построенного на векторах, отложенных от одной точки).

7. Сформулируйте переместительный закон сложения векторов.

Переместительный (коммутативный) закон сложения векторов гласит, что сумма двух векторов не зависит от порядка слагаемых. Для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$. Этот закон легко доказывается с помощью правила параллелограмма.

Ответ: От перестановки мест слагаемых-векторов их сумма не меняется: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

8. Сформулируйте сочетательный закон сложения векторов.

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения векторов утверждает, что при сложении трех и более векторов результат не зависит от расстановки скобок. Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливо равенство: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

Ответ: Чтобы к сумме двух векторов прибавить третий вектор, можно к первому вектору прибавить сумму второго и третьего: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

9. Как определяется произведение вектора на число?

Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на действительное число $k$ (скаляр) называется новый вектор, обозначаемый $k\vec{a}$, который удовлетворяет следующим условиям:
1. Его длина (модуль) равна произведению модуля числа $k$ на длину вектора $\vec{a}$: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
2. Его направление совпадает с направлением вектора $\vec{a}$, если $k > 0$.
3. Его направление противоположно направлению вектора $\vec{a}$, если $k < 0$.
Если $k=0$ или $\vec{a}=\vec{0}$, то произведение $k\vec{a}$ является нулевым вектором.

Ответ: Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на число $k$ называется такой вектор $\vec{b}$, что его длина равна $|k| \cdot |\vec{a}|$, и он сонаправлен вектору $\vec{a}$ при $k > 0$ и противоположно направлен при $k < 0$. Если $k=0$ или $\vec{a}=\vec{0}$, произведение равно нулевому вектору.

10. Как обозначается произведение вектора на число?

Произведение вектора $\vec{a}$ на число (скаляр) $k$ обозначается как $k\vec{a}$ или, реже, $\vec{a}k$. Число-множитель обычно пишется перед вектором.

Ответ: Произведение вектора $\vec{a}$ на число $k$ обозначается как $k\vec{a}$.

11. Какой вектор называется противоположным данному вектору? Как он обозначается?

Вектором, противоположным данному ненулевому вектору $\vec{a}$, называется вектор, который имеет ту же длину, что и $\vec{a}$, но направлен в противоположную сторону. Противоположный вектор для $\vec{a}$ обозначается как $-\vec{a}$. Он равен произведению вектора $\vec{a}$ на число $-1$: $-\vec{a} = (-1)\vec{a}$. Сумма вектора и противоположного ему вектора равна нулевому вектору: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.

Ответ: Вектор, противоположный вектору $\vec{a}$, — это вектор, который имеет такую же длину, но противоположное направление. Он обозначается как $-\vec{a}$.

12. Что называется разностью двух векторов? Как она обозначается?

Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой третий вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ даёт вектор $\vec{a}$. То есть, $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, если $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$. Разность также можно определить как сумму вектора $\vec{a}$ с вектором, противоположным вектору $\vec{b}$: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается как $\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ даёт вектор $\vec{a}$. Разность обозначается как $\vec{a} - \vec{b}$.

13. Сформулируйте сочетательный закон умножения вектора на число.

Сочетательный (ассоциативный) закон относительно числовых множителей гласит, что для любых чисел $k$, $l$ и любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство: $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$. Это означает, что можно сначала перемножить числа, а потом умножить на вектор, или последовательно умножать вектор на числа.

Ответ: Чтобы произведение двух чисел умножить на вектор, можно первое число умножить на произведение второго числа и вектора: $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$.

14. Сформулируйте первый распределительный закон умножения вектора на число.

Первый распределительный (дистрибутивный) закон связывает сложение чисел и умножение вектора на число. Он гласит, что для любых чисел $k$, $l$ и любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство: $(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$.

Ответ: Чтобы сумму двух чисел умножить на вектор, можно каждое слагаемое умножить на этот вектор и полученные произведения сложить: $(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$.

15. Сформулируйте второй распределительный закон умножения вектора на число.

Второй распределительный (дистрибутивный) закон связывает сложение векторов и умножение вектора на число. Он гласит, что для любого числа $k$ и любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ справедливо равенство: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$.

Ответ: Чтобы число умножить на сумму двух векторов, можно это число умножить на каждый вектор и полученные произведения сложить: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$.