Номер 18.5, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.5. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1 (рис. 18.9). Найдите длину вектора:

а) $\vec{AB}$;

б) $\vec{AC}$;

в) $\vec{AD}$;

г) $\vec{AB_1}$;

д) $\vec{AC_1}$;

е) $\vec{AD_1}$.

Рис. 18.9

Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника) равна 1, и высота призмы (длина бокового ребра, например, $AA_1$) также равна 1. Длина вектора равна длине соответствующего отрезка.

а) $\overline{AB}$

Длина вектора $\overline{AB}$ равна длине отрезка $AB$. Отрезок $AB$ является стороной основания призмы. По условию, все ребра равны 1. Следовательно, $|\overline{AB}| = AB = 1$.

Ответ: $1$

б) $\overline{AC}$

Длина вектора $\overline{AC}$ равна длине малой диагонали $AC$ правильного шестиугольника в основании. Рассмотрим треугольник $ABC$ в основании. Стороны $AB=1$ и $BC=1$. Угол в вершине правильного шестиугольника равен $\angle ABC = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$.

Таким образом, $|\overline{AC}| = AC = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

в) $\overline{AD}$

Длина вектора $\overline{AD}$ равна длине большой диагонали $AD$ шестиугольника в основании. В правильном шестиугольнике большая диагональ (например, $AD$) проходит через центр и ее длина вдвое больше длины стороны. Так как сторона шестиугольника равна 1, то $AD = 2 \cdot 1 = 2$.

Следовательно, $|\overline{AD}| = AD = 2$.

Ответ: $2$

г) $\overline{AB_1}$

Вектор $\overline{AB_1}$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$, которая является квадратом со стороной 1. Однако, для нахождения длины вектора мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $ABB_1$, где катет $AB$ — сторона основания, а катет $BB_1$ — боковое ребро. Так как призма правильная, то $BB_1 \perp AB$.

По теореме Пифагора:

$|\overline{AB_1}|^2 = AB^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.

Следовательно, $|\overline{AB_1}| = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

д) $\overline{AC_1}$

Для нахождения длины вектора $\overline{AC_1}$ рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Катет $AC$ — это малая диагональ основания, $AC = \sqrt{3}$ (из пункта б). Катет $CC_1$ — это боковое ребро, $CC_1 = 1$. Так как призма правильная, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и отрезку $AC$.

По теореме Пифагора:

$|\overline{AC_1}|^2 = AC^2 + CC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.

Следовательно, $|\overline{AC_1}| = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: $2$

е) $\overline{AD_1}$

Для нахождения длины вектора $\overline{AD_1}$ рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Катет $AD$ — это большая диагональ основания, $AD = 2$ (из пункта в). Катет $DD_1$ — это боковое ребро, $DD_1 = 1$. Боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания и, следовательно, отрезку $AD$.

По теореме Пифагора:

$|\overline{AD_1}|^2 = AD^2 + DD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

Следовательно, $|\overline{AD_1}| = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$