Номер 18.8, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите векторы с началом и концом в вершинах призмы, равные вектору: а) $\vec{AB} + \vec{FE}$; б) $\vec{AB} + \vec{DC}$; в) $\vec{AC} + \vec{DD_1}$; г) $\vec{AB} + \vec{CE_1}$.

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ основание $ABCDEF$ является правильным шестиугольником. Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов в правильном шестиугольнике и призме.

а) Требуется найти вектор, равный сумме $\overline{AB} + \overline{FE}$.

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ противолежащие стороны параллельны и равны. Вектор $\overline{FE}$ равен вектору $\overline{BC}$ (они сонаправлены и имеют одинаковую длину). Таким образом, можно заменить вектор $\overline{FE}$ на $\overline{BC}$.

$\overline{AB} + \overline{FE} = \overline{AB} + \overline{BC}$

По правилу треугольника для сложения векторов (правило Шаля): $\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$.

Также в правильном шестиугольнике вектор, соединяющий вершины через одну (короткая диагональ), равен вектору, соединяющему другие две вершины через одну, например, $\overline{AC} = \overline{FD}$.

Векторы в верхнем основании призмы равны соответствующим векторам в нижнем основании: $\overline{A_1C_1} = \overline{AC}$ и $\overline{F_1D_1} = \overline{FD}$.

Следовательно, все векторы, равные данной сумме: $\overline{AC}$, $\overline{FD}$, $\overline{A_1C_1}$, $\overline{F_1D_1}$.

Ответ: $\overline{AC}$, $\overline{FD}$, $\overline{A_1C_1}$, $\overline{F_1D_1}$.

б) Требуется найти вектор, равный сумме $\overline{AB} + \overline{DC}$.

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ вектор $\overline{DC}$ равен вектору $\overline{FA}$.

Заменим $\overline{DC}$ на $\overline{FA}$ в исходном выражении:

$\overline{AB} + \overline{DC} = \overline{AB} + \overline{FA}$

Используя коммутативность сложения векторов, получаем:

$\overline{FA} + \overline{AB}$

По правилу треугольника: $\overline{FA} + \overline{AB} = \overline{FB}$.

В правильном шестиугольнике также верно, что $\overline{FB} = \overline{EC}$. Соответствующие векторы в верхнем основании: $\overline{F_1B_1}$ и $\overline{E_1C_1}$.

Следовательно, все векторы, равные данной сумме: $\overline{FB}$, $\overline{EC}$, $\overline{F_1B_1}$, $\overline{E_1C_1}$.

Ответ: $\overline{FB}$, $\overline{EC}$, $\overline{F_1B_1}$, $\overline{E_1C_1}$.

в) Требуется найти вектор, равный сумме $\overline{AC} + \overline{DD_1}$.

В призме все боковые ребра параллельны и равны, поэтому векторы, соответствующие этим ребрам, равны: $\overline{DD_1} = \overline{AA_1} = \overline{BB_1} = \overline{CC_1}$ и т.д.

Заменим вектор $\overline{DD_1}$ на равный ему вектор $\overline{CC_1}$:

$\overline{AC} + \overline{DD_1} = \overline{AC} + \overline{CC_1}$

По правилу треугольника: $\overline{AC} + \overline{CC_1} = \overline{AC_1}$.

Можно найти и другой равный вектор. Как мы установили в пункте а), $\overline{AC} = \overline{FD}$. Подставим это в исходное выражение:

$\overline{FD} + \overline{DD_1}$

По правилу треугольника: $\overline{FD} + \overline{DD_1} = \overline{FD_1}$. Таким образом, $\overline{AC_1} = \overline{FD_1}$.

Ответ: $\overline{AC_1}$, $\overline{FD_1}$.

г) Требуется найти вектор, равный сумме $\overline{AB} + \overline{CE_1}$.

Представим вектор $\overline{CE_1}$ как сумму векторов по правилу треугольника в прямоугольнике $CEE_1C_1$:

$\overline{CE_1} = \overline{CE} + \overline{EE_1}$

Тогда исходная сумма примет вид:

$\overline{AB} + \overline{CE} + \overline{EE_1} = (\overline{AB} + \overline{CE}) + \overline{EE_1}$

Сначала найдем сумму векторов в плоскости основания $\overline{AB} + \overline{CE}$. В правильном шестиугольнике эта сумма равна вектору $\overline{AF}$. Также $\overline{AF} = \overline{CD}$.

Рассмотрим первый случай, используя $\overline{AB} + \overline{CE} = \overline{AF}$. Сумма становится:

$\overline{AF} + \overline{EE_1}$

В призме $\overline{EE_1} = \overline{AA_1}$. Заменим вектор:

$\overline{AF} + \overline{AA_1} = \overline{AA_1} + \overline{AF}$

По правилу параллелограмма (или правилу треугольника, $\overline{AA_1} + \overline{A_1F_1} = \overline{AF_1}$, где $\overline{A_1F_1} = \overline{AF}$), сумма равна диагонали параллелограмма $A_1AFF_1$, то есть $\overline{AF_1}$.

Рассмотрим второй случай, используя $\overline{AB} + \overline{CE} = \overline{CD}$. Сумма становится:

$\overline{CD} + \overline{EE_1}$

В призме $\overline{EE_1} = \overline{DD_1}$. Заменим вектор:

$\overline{CD} + \overline{DD_1}$

По правилу треугольника, эта сумма равна $\overline{CD_1}$.

Таким образом, $\overline{AF_1} = \overline{CD_1}$.

Ответ: $\overline{AF_1}$, $\overline{CD_1}$.