Номер 18.4, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 18. Векторы в пространстве. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 18.4, страница 97.

Условия.

18.4. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора:

а) $\overline{AB}$;

б) $\overline{AB_1}$;

в) $\overline{AC_1}$.

Решение.

Решение 2.

а) $\vec{AB}$

Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине ребра куба $AB$. Поскольку куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является единичным, длина его ребра равна 1. Следовательно, $|\vec{AB}| = 1$.
Ответ: 1

б) $\vec{AB_1}$

Вектор $\vec{AB_1}$ соответствует диагонали боковой грани $AA_1B_1B$. Эта грань является квадратом со стороной 1. Длину диагонали $AB_1$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник $AA_1B_1$ (с прямым углом при вершине $A_1$). Катеты $AA_1$ и $A_1B_1$ равны 1. По теореме Пифагора:$|\vec{AB_1}|^2 = |AA_1|^2 + |A_1B_1|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.Следовательно, длина вектора $|\vec{AB_1}| = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$

в) $\vec{AC_1}$

Вектор $\vec{AC_1}$ является главной (пространственной) диагональю куба. Для нахождения его длины можно последовательно применить теорему Пифагора. Сначала найдем квадрат длины диагонали основания $AC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$:$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$ (ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$, а значит, и отрезку $AC$). Гипотенуза $AC_1$ и является искомой длиной:$|\vec{AC_1}|^2 = |AC|^2 + |CC_1|^2 = 2 + 1^2 = 3$.Следовательно, длина вектора $|\vec{AC_1}| = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$