Страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.2. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 18.8) укажите векторы с началом и концом в вершинах призмы, равные вектору $\vec{AA_1}$.

Рис. 18.8

18.2. Два вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны. Векторы, удовлетворяющие этому условию, являются коллинеарными, имеют одинаковую длину и указывают в одну и ту же сторону.
В данной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ основаниями являются треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Боковые ребра призмы ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) по определению призмы параллельны друг другу и равны по длине.
Вектор $\overline{AA_1}$ задает перемещение из точки $A$ в точку $A_1$ вдоль бокового ребра. Его направление - от нижнего основания к верхнему.
Рассмотрим боковое ребро $BB_1$. Оно параллельно ребру $AA_1$ и имеет ту же длину. Вектор $\overline{BB_1}$ направлен от точки $B$ нижнего основания к соответствующей точке $B_1$ верхнего основания. Таким образом, вектор $\overline{BB_1}$ сонаправлен вектору $\overline{AA_1}$ и имеет ту же длину. Следовательно, векторы равны: $\overline{AA_1} = \overline{BB_1}$.
Аналогично, рассмотрим боковое ребро $CC_1$. Оно также параллельно ребру $AA_1$ и равно ему по длине. Вектор $\overline{CC_1}$ направлен от точки $C$ к точке $C_1$. Он сонаправлен вектору $\overline{AA_1}$ и равен ему по длине. Следовательно, $\overline{AA_1} = \overline{CC_1}$.
Других векторов с началом и концом в вершинах призмы, равных вектору $\overline{AA_1}$, нет.
Ответ: $\overline{BB_1}$ и $\overline{CC_1}$.

18.3. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A₁B₁C₁D₁E₁F₁ (рис. 18.9) укажите векторы с началом и концом в вершинах призмы, равные вектору:

а) $ \vec{AB} $;

б) $ \vec{AC} $;

в) $ \vec{AD} $;

г) $ \vec{AB_1} $;

д) $ \vec{AC_1} $.

Рис. 18.9

В данной задаче мы ищем векторы, равные заданным. Два вектора равны, если они сонаправлены (параллельны и указывают в одном направлении) и имеют одинаковую длину. Начало и конец искомых векторов должны находиться в вершинах правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

а) Найдем векторы, равные вектору $\vec{AB}$.

Вектор $\vec{AB}$ является стороной нижнего основания призмы.

1. В нижнем основании $ABCDEF$, которое является правильным шестиугольником, сторона $ED$ параллельна стороне $AB$ и равна ей по длине. Судя по расположению вершин на рисунке, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{ED}$ сонаправлены. Следовательно, $\vec{AB} = \vec{ED}$.

2. Верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получено из нижнего параллельным переносом. Значит, $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$.

3. В верхнем основании, по аналогии с нижним, $\vec{A_1B_1} = \vec{E_1D_1}$.

Таким образом, три вектора равны вектору $\vec{AB}$.

Ответ: $\vec{ED}$, $\vec{A_1B_1}$, $\vec{E_1D_1}$.

б) Найдем векторы, равные вектору $\vec{AC}$.

Вектор $\vec{AC}$ является меньшей диагональю нижнего основания.

1. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ меньшая диагональ $\vec{FD}$ параллельна диагонали $\vec{AC}$, равна ей по длине и сонаправлена. Это можно увидеть, рассмотрев равнобедренную трапецию $ACDF$. Таким образом, $\vec{AC} = \vec{FD}$.

2. В верхнем основании, являющемся копией нижнего, имеем равенства $\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$ и $\vec{F_1D_1} = \vec{FD}$.

Из этих равенств следует, что вектору $\vec{AC}$ равны три других вектора.

Ответ: $\vec{FD}$, $\vec{A_1C_1}$, $\vec{F_1D_1}$.

в) Найдем векторы, равные вектору $\vec{AD}$.

Вектор $\vec{AD}$ является большей диагональю правильного шестиугольника, проходящей через его центр.

1. В нижнем основании другие большие диагонали ($\vec{BE}$, $\vec{CF}$) не параллельны диагонали $\vec{AD}$, поэтому они не могут быть равными ей векторами.

2. В верхнем основании диагональ $\vec{A_1D_1}$ получена параллельным переносом диагонали $\vec{AD}$, поэтому $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$.

Других равных векторов с началом и концом в вершинах призмы нет.

Ответ: $\vec{A_1D_1}$.

г) Найдем векторы, равные вектору $\vec{AB_1}$.

Вектор $\vec{AB_1}$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. По правилу треугольника для векторов, $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$.

Чтобы найти равный ему вектор, нужно найти другую пару векторов, равных $\vec{AB}$ и $\vec{BB_1}$ соответственно, и сложить их.

1. Из пункта (а) мы знаем, что $\vec{ED} = \vec{AB}$.

2. Так как призма правильная, все ее боковые ребра равны и параллельны, то есть $\vec{DD_1} = \vec{BB_1}$.

3. Сложим найденные векторы: $\vec{ED} + \vec{DD_1}$. По правилу треугольника, их сумма равна вектору $\vec{ED_1}$.

Таким образом, $\vec{ED_1} = \vec{ED} + \vec{DD_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB_1}$.

Ответ: $\vec{ED_1}$.

д) Найдем векторы, равные вектору $\vec{AC_1}$.

Вектор $\vec{AC_1}$ является пространственной диагональю призмы. По правилу треугольника, $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$.

Будем действовать аналогично предыдущему пункту.

1. Из пункта (б) мы знаем, что $\vec{FD} = \vec{AC}$.

2. Боковые ребра призмы равны, следовательно $\vec{DD_1} = \vec{CC_1}$.

3. Сложим векторы: $\vec{FD} + \vec{DD_1}$. По правилу треугольника, их сумма равна $\vec{FD_1}$.

Следовательно, $\vec{FD_1} = \vec{FD} + \vec{DD_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1} = \vec{AC_1}$.

Ответ: $\vec{FD_1}$.

18.4. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора:

а) $\overline{AB}$;

б) $\overline{AB_1}$;

в) $\overline{AC_1}$.

а) $\vec{AB}$

Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине ребра куба $AB$. Поскольку куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является единичным, длина его ребра равна 1. Следовательно, $|\vec{AB}| = 1$.
Ответ: 1

б) $\vec{AB_1}$

Вектор $\vec{AB_1}$ соответствует диагонали боковой грани $AA_1B_1B$. Эта грань является квадратом со стороной 1. Длину диагонали $AB_1$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник $AA_1B_1$ (с прямым углом при вершине $A_1$). Катеты $AA_1$ и $A_1B_1$ равны 1. По теореме Пифагора:$|\vec{AB_1}|^2 = |AA_1|^2 + |A_1B_1|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.Следовательно, длина вектора $|\vec{AB_1}| = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$

в) $\vec{AC_1}$

Вектор $\vec{AC_1}$ является главной (пространственной) диагональю куба. Для нахождения его длины можно последовательно применить теорему Пифагора. Сначала найдем квадрат длины диагонали основания $AC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$:$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$ (ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$, а значит, и отрезку $AC$). Гипотенуза $AC_1$ и является искомой длиной:$|\vec{AC_1}|^2 = |AC|^2 + |CC_1|^2 = 2 + 1^2 = 3$.Следовательно, длина вектора $|\vec{AC_1}| = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

18.5. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1 (рис. 18.9). Найдите длину вектора:

а) $\vec{AB}$;

б) $\vec{AC}$;

в) $\vec{AD}$;

г) $\vec{AB_1}$;

д) $\vec{AC_1}$;

е) $\vec{AD_1}$.

Рис. 18.9

Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника) равна 1, и высота призмы (длина бокового ребра, например, $AA_1$) также равна 1. Длина вектора равна длине соответствующего отрезка.

а) $\overline{AB}$

Длина вектора $\overline{AB}$ равна длине отрезка $AB$. Отрезок $AB$ является стороной основания призмы. По условию, все ребра равны 1. Следовательно, $|\overline{AB}| = AB = 1$.

Ответ: $1$

б) $\overline{AC}$

Длина вектора $\overline{AC}$ равна длине малой диагонали $AC$ правильного шестиугольника в основании. Рассмотрим треугольник $ABC$ в основании. Стороны $AB=1$ и $BC=1$. Угол в вершине правильного шестиугольника равен $\angle ABC = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$.

Таким образом, $|\overline{AC}| = AC = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

в) $\overline{AD}$

Длина вектора $\overline{AD}$ равна длине большой диагонали $AD$ шестиугольника в основании. В правильном шестиугольнике большая диагональ (например, $AD$) проходит через центр и ее длина вдвое больше длины стороны. Так как сторона шестиугольника равна 1, то $AD = 2 \cdot 1 = 2$.

Следовательно, $|\overline{AD}| = AD = 2$.

Ответ: $2$

г) $\overline{AB_1}$

Вектор $\overline{AB_1}$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$, которая является квадратом со стороной 1. Однако, для нахождения длины вектора мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $ABB_1$, где катет $AB$ — сторона основания, а катет $BB_1$ — боковое ребро. Так как призма правильная, то $BB_1 \perp AB$.

По теореме Пифагора:

$|\overline{AB_1}|^2 = AB^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.

Следовательно, $|\overline{AB_1}| = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

д) $\overline{AC_1}$

Для нахождения длины вектора $\overline{AC_1}$ рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Катет $AC$ — это малая диагональ основания, $AC = \sqrt{3}$ (из пункта б). Катет $CC_1$ — это боковое ребро, $CC_1 = 1$. Так как призма правильная, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и отрезку $AC$.

По теореме Пифагора:

$|\overline{AC_1}|^2 = AC^2 + CC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.

Следовательно, $|\overline{AC_1}| = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: $2$

е) $\overline{AD_1}$

Для нахождения длины вектора $\overline{AD_1}$ рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Катет $AD$ — это большая диагональ основания, $AD = 2$ (из пункта в). Катет $DD_1$ — это боковое ребро, $DD_1 = 1$. Боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания и, следовательно, отрезку $AD$.

По теореме Пифагора:

$|\overline{AD_1}|^2 = AD^2 + DD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

Следовательно, $|\overline{AD_1}| = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

18.6. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, укажите векторы с началом и концом в вершинах куба, равные вектору:

а) $\vec{AB} + \vec{CC_1}$;

б) $\vec{AB} + \vec{AD}$;

в) $\vec{AB} + \vec{AD_1}$;

г) $\vec{AB} + \vec{CD_1}$;

д) $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

а) Чтобы найти сумму векторов $ \vec{AB} + \vec{CC_1} $, воспользуемся свойством равенства векторов в кубе. Векторы, соответствующие параллельным и сонаправленным ребрам, равны. Ребро $CC_1$ параллельно и сонаправлено ребру $BB_1$, следовательно, $ \vec{CC_1} = \vec{BB_1} $. Заменим вектор в исходном выражении: $ \vec{AB} + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} $. По правилу сложения векторов (правило треугольника), если начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма — это вектор, идущий из начала первого в конец второго. Таким образом, $ \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB_1} $.
Ответ: $ \vec{AB_1} $

б) Векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{AD} $ имеют общее начало в вершине $A$. Для их сложения применим правило параллелограмма. Сумма двух векторов, отложенных от одной точки, равна вектору диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах и исходящей из той же точки. В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Параллелограмм, построенный на векторах $ \vec{AB} $ и $ \vec{AD} $, — это и есть квадрат $ABCD$. Его диагональ, исходящая из вершины $A$, — это $AC$. Следовательно, $ \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} $.
Ответ: $ \vec{AC} $

в) Для нахождения суммы $ \vec{AB} + \vec{AD_1} $ разложим вектор $ \vec{AD_1} $. Вектор $ \vec{AD_1} $ является диагональю грани $ADD_1A_1$. По правилу параллелограмма, $ \vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} $. Подставим это разложение в исходное выражение: $ \vec{AB} + \vec{AD_1} = \vec{AB} + (\vec{AD} + \vec{AA_1}) $. Используя сочетательный закон сложения, получим: $ (\vec{AB} + \vec{AD}) + \vec{AA_1} $. Как мы нашли в пункте б), $ \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} $. Тогда выражение примет вид: $ \vec{AC} + \vec{AA_1} $. Вектор $ \vec{AA_1} $ равен вектору $ \vec{CC_1} $. Заменяя, получаем $ \vec{AC} + \vec{CC_1} $. По правилу треугольника, эта сумма равна $ \vec{AC_1} $.
Ответ: $ \vec{AC_1} $

г) Чтобы сложить векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{CD_1} $, необходимо привести их к общему началу или использовать правило треугольника. Для этого найдем вектор, равный $ \vec{CD_1} $, но начинающийся в другой вершине. Вектор $ \vec{CD_1} $ — это диагональ грани $CDD_1C_1$. Грань $BAA_1B_1$ параллельна грани $CDD_1C_1$. Вектор $ \vec{BA_1} $ является соответствующей диагональю грани $BAA_1B_1$, поэтому $ \vec{CD_1} = \vec{BA_1} $. Теперь сумма принимает вид: $ \vec{AB} + \vec{BA_1} $. По правилу треугольника, эта сумма равна вектору $ \vec{AA_1} $.
Ответ: $ \vec{AA_1} $

д) Сумма $ \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} $ — это сумма трех векторов, выходящих из одной вершины $A$ и направленных вдоль трех ребер куба. Для нахождения такой суммы используется правило параллелепипеда: сумма трех некомпланарных векторов, отложенных от одной точки, равна вектору диагонали параллелепипеда, построенного на этих векторах, и исходящей из той же точки. В данном случае параллелепипед — это куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Главная диагональ, исходящая из вершины $A$, соединяет ее с противоположной вершиной $C_1$. Таким образом, $ \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1} $.
Ответ: $ \vec{AC_1} $

18.7. Сколько различных векторов задают ребра:
а) куба;
б) треугольной призмы;
в) правильной четырехугольной пирамиды (рис. 18.10)?

Рис. 18.10

Различные векторы — это векторы, которые не совпадают по направлению и/или длине (модулю). Каждое ребро, соединяющее вершины A и B, определяет два различных, противоположно направленных вектора: $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$. Если в многограннике есть несколько параллельных ребер одинаковой длины, то они могут задавать одни и те же векторы. Посчитаем количество таких уникальных векторов для каждой фигуры.

а) куба

У куба 12 ребер. Все ребра куба равны по длине. Их можно разделить на 3 группы по 4 параллельных ребра в каждой (ребра, параллельные трем взаимно перпендикулярным осям). Каждая такая группа из четырех ребер задает два взаимно противоположных вектора. Например, ребра, параллельные оси Ox, задают векторы, направленные вдоль оси и против нее. Таким образом, общее количество различных векторов равно произведению количества групп на 2.

Количество групп параллельных ребер: 3.

Количество различных векторов для каждой группы: 2.

Общее число различных векторов: $3 \times 2 = 6$.

Ответ: 6.

б) треугольной призмы

У треугольной призмы 9 ребер. Эти ребра можно разделить на 4 группы параллельных и равных по длине ребер:

1. Одна группа из трех боковых ребер. Они все параллельны и равны между собой. Эта группа задает 2 различных вектора (например, направленный вверх и направленный вниз).

2. Три группы, каждая из которых состоит из двух ребер — по одному из каждого основания. Например, ребро $AB$ нижнего основания и параллельное ему ребро $A'B'$ верхнего основания образуют одну группу. Каждая из этих трех парных групп задает 2 различных вектора.

Итого получаем 1 группу из трех ребер и 3 группы из двух ребер. Всего 4 группы параллельных ребер одинаковой длины. Каждая группа определяет 2 противоположных вектора.

Общее число различных векторов: $4 \times 2 = 8$.

Ответ: 8.

в) правильной четырехугольной пирамиды

У правильной четырехугольной пирамиды, основанием которой является квадрат $ABCD$ и вершина $S$, всего 8 ребер.

1. Ребра основания (4 ребра). Поскольку основание — квадрат, его противоположные стороны параллельны и равны: $AB \parallel DC$ и $AD \parallel BC$.

- Пара параллельных ребер $AB$ и $DC$ задает 2 различных вектора: $\vec{AB}$ (который равен $\vec{DC}$) и $\vec{BA}$ (который равен $\vec{CD}$).

- Пара параллельных ребер $AD$ и $BC$ задает еще 2 различных вектора: $\vec{AD}$ (который равен $\vec{BC}$) и $\vec{DA}$ (который равен $\vec{CB}$).

Всего ребра основания задают $2 + 2 = 4$ различных вектора.

2. Боковые ребра (4 ребра): $SA, SB, SC, SD$. В правильной пирамиде все боковые ребра равны по длине, но никакие два из них не параллельны. Следовательно, каждое боковое ребро определяет свою уникальную пару из двух противоположно направленных векторов.

- Ребро $SA$ задает векторы $\vec{SA}$ и $\vec{AS}$.

- Ребро $SB$ задает векторы $\vec{SB}$ и $\vec{BS}$.

- Ребро $SC$ задает векторы $\vec{SC}$ и $\vec{CS}$.

- Ребро $SD$ задает векторы $\vec{SD}$ и $\vec{DS}$.

Эти 8 векторов все различны. Всего боковые ребра задают $4 \times 2 = 8$ различных векторов.

Общее число различных векторов равно сумме векторов от основания и боковых ребер: $4 + 8 = 12$.

Ответ: 12.

18.8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите векторы с началом и концом в вершинах призмы, равные вектору: а) $\vec{AB} + \vec{FE}$; б) $\vec{AB} + \vec{DC}$; в) $\vec{AC} + \vec{DD_1}$; г) $\vec{AB} + \vec{CE_1}$.

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ основание $ABCDEF$ является правильным шестиугольником. Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов в правильном шестиугольнике и призме.

а) Требуется найти вектор, равный сумме $\overline{AB} + \overline{FE}$.

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ противолежащие стороны параллельны и равны. Вектор $\overline{FE}$ равен вектору $\overline{BC}$ (они сонаправлены и имеют одинаковую длину). Таким образом, можно заменить вектор $\overline{FE}$ на $\overline{BC}$.

$\overline{AB} + \overline{FE} = \overline{AB} + \overline{BC}$

По правилу треугольника для сложения векторов (правило Шаля): $\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$.

Также в правильном шестиугольнике вектор, соединяющий вершины через одну (короткая диагональ), равен вектору, соединяющему другие две вершины через одну, например, $\overline{AC} = \overline{FD}$.

Векторы в верхнем основании призмы равны соответствующим векторам в нижнем основании: $\overline{A_1C_1} = \overline{AC}$ и $\overline{F_1D_1} = \overline{FD}$.

Следовательно, все векторы, равные данной сумме: $\overline{AC}$, $\overline{FD}$, $\overline{A_1C_1}$, $\overline{F_1D_1}$.

Ответ: $\overline{AC}$, $\overline{FD}$, $\overline{A_1C_1}$, $\overline{F_1D_1}$.

б) Требуется найти вектор, равный сумме $\overline{AB} + \overline{DC}$.

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ вектор $\overline{DC}$ равен вектору $\overline{FA}$.

Заменим $\overline{DC}$ на $\overline{FA}$ в исходном выражении:

$\overline{AB} + \overline{DC} = \overline{AB} + \overline{FA}$

Используя коммутативность сложения векторов, получаем:

$\overline{FA} + \overline{AB}$

По правилу треугольника: $\overline{FA} + \overline{AB} = \overline{FB}$.

В правильном шестиугольнике также верно, что $\overline{FB} = \overline{EC}$. Соответствующие векторы в верхнем основании: $\overline{F_1B_1}$ и $\overline{E_1C_1}$.

Следовательно, все векторы, равные данной сумме: $\overline{FB}$, $\overline{EC}$, $\overline{F_1B_1}$, $\overline{E_1C_1}$.

Ответ: $\overline{FB}$, $\overline{EC}$, $\overline{F_1B_1}$, $\overline{E_1C_1}$.

в) Требуется найти вектор, равный сумме $\overline{AC} + \overline{DD_1}$.

В призме все боковые ребра параллельны и равны, поэтому векторы, соответствующие этим ребрам, равны: $\overline{DD_1} = \overline{AA_1} = \overline{BB_1} = \overline{CC_1}$ и т.д.

Заменим вектор $\overline{DD_1}$ на равный ему вектор $\overline{CC_1}$:

$\overline{AC} + \overline{DD_1} = \overline{AC} + \overline{CC_1}$

По правилу треугольника: $\overline{AC} + \overline{CC_1} = \overline{AC_1}$.

Можно найти и другой равный вектор. Как мы установили в пункте а), $\overline{AC} = \overline{FD}$. Подставим это в исходное выражение:

$\overline{FD} + \overline{DD_1}$

По правилу треугольника: $\overline{FD} + \overline{DD_1} = \overline{FD_1}$. Таким образом, $\overline{AC_1} = \overline{FD_1}$.

Ответ: $\overline{AC_1}$, $\overline{FD_1}$.

г) Требуется найти вектор, равный сумме $\overline{AB} + \overline{CE_1}$.

Представим вектор $\overline{CE_1}$ как сумму векторов по правилу треугольника в прямоугольнике $CEE_1C_1$:

$\overline{CE_1} = \overline{CE} + \overline{EE_1}$

Тогда исходная сумма примет вид:

$\overline{AB} + \overline{CE} + \overline{EE_1} = (\overline{AB} + \overline{CE}) + \overline{EE_1}$

Сначала найдем сумму векторов в плоскости основания $\overline{AB} + \overline{CE}$. В правильном шестиугольнике эта сумма равна вектору $\overline{AF}$. Также $\overline{AF} = \overline{CD}$.

Рассмотрим первый случай, используя $\overline{AB} + \overline{CE} = \overline{AF}$. Сумма становится:

$\overline{AF} + \overline{EE_1}$

В призме $\overline{EE_1} = \overline{AA_1}$. Заменим вектор:

$\overline{AF} + \overline{AA_1} = \overline{AA_1} + \overline{AF}$

По правилу параллелограмма (или правилу треугольника, $\overline{AA_1} + \overline{A_1F_1} = \overline{AF_1}$, где $\overline{A_1F_1} = \overline{AF}$), сумма равна диагонали параллелограмма $A_1AFF_1$, то есть $\overline{AF_1}$.

Рассмотрим второй случай, используя $\overline{AB} + \overline{CE} = \overline{CD}$. Сумма становится:

$\overline{CD} + \overline{EE_1}$

В призме $\overline{EE_1} = \overline{DD_1}$. Заменим вектор:

$\overline{CD} + \overline{DD_1}$

По правилу треугольника, эта сумма равна $\overline{CD_1}$.

Таким образом, $\overline{AF_1} = \overline{CD_1}$.

Ответ: $\overline{AF_1}$, $\overline{CD_1}$.

18.9. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 18.8). Найдите длину вектора $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA_1}$.

18.10. D

Рис. 18.8

18.9. По условию задачи, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основаниях лежат равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со стороной 1, а боковые ребра ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) перпендикулярны основаниям и их длина также равна 1.

Требуется найти длину вектора $\vec{s} = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA_1}$.

Для решения задачи применим метод последовательного сложения векторов. Сначала найдем сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, лежащих в плоскости основания призмы. Обозначим их сумму как $\vec{u} = \vec{AB} + \vec{AC}$.

Согласно правилу параллелограмма, вектор $\vec{u}$ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Поскольку длины этих векторов равны ($|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = 1$), этот параллелограмм является ромбом. В ромбе диагональ, выходящая из общего начала векторов, является биссектрисой угла между ними. Также сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равна удвоенному вектору медианы $\vec{AM}$, проведенной из их общего начала $A$ к стороне $BC$ треугольника $ABC$:$\vec{u} = 2\vec{AM}$.

Длину медианы $AM$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=1$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $AMB$, где $M$ — середина стороны $BC$:$|\vec{AM}| = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь мы можем найти длину вектора $\vec{u}$:$|\vec{u}| = |2\vec{AM}| = 2 \cdot |\vec{AM}| = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Таким образом, искомый вектор $\vec{s}$ можно представить как сумму двух векторов:$\vec{s} = (\vec{AB} + \vec{AC}) + \vec{AA_1} = \vec{u} + \vec{AA_1}$.

Вектор $\vec{u}$ лежит в плоскости основания $ABC$. Вектор $\vec{AA_1}$ является боковым ребром призмы и, по определению правильной призмы, перпендикулярен плоскости основания. Это означает, что векторы $\vec{u}$ и $\vec{AA_1}$ перпендикулярны друг другу ($\vec{u} \perp \vec{AA_1}$).

Длина вектора $\vec{s}$, который является суммой двух перпендикулярных векторов $\vec{u}$ и $\vec{AA_1}$, находится по теореме Пифагора:$|\vec{s}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{AA_1}|^2$.

Нам известны длины векторов-слагаемых: $|\vec{u}| = \sqrt{3}$ и $|\vec{AA_1}| = 1$. Подставим эти значения в формулу:$|\vec{s}|^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.

Следовательно, искомая длина вектора $\vec{s}$ равна:$|\vec{s}| = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2.

18.10. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите длину вектора:

а) $\vec{AB} + \vec{AD}$;

б) $\vec{AB} + \vec{AD_1}$;

в) $\vec{AB} + \vec{CC_1}$;

г) $\vec{AB} + \vec{CD_1}$;

д) $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

Для решения задачи введем правую прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $A$ куба, а оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно. Так как куб единичный, его ребро имеет длину 1. В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

а) Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ соответствуют ребрам куба, исходящим из одной вершины. По правилу параллелограмма, их сумма равна вектору диагонали грани $ABCD$, также исходящему из вершины $A$:
$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
Длина вектора $\vec{AC}$ является длиной диагонали единичного квадрата. По теореме Пифагора она равна:
$|\vec{AC}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Проверим с помощью координат: $\vec{AB} = (1,0,0)$, $\vec{AD} = (0,1,0)$. Их сумма $\vec{v} = (1,1,0)$. Длина вектора $|\vec{v}| = \sqrt{1^2+1^2+0^2} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

б) Найдем сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD_1}$. Используем координатный метод.
Координаты векторов: $\vec{AB} = (1,0,0)$ и $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0,1,1)$.
Их сумма: $\vec{v} = \vec{AB} + \vec{AD_1} = (1+0, 0+1, 0+1) = (1,1,1)$.
Длина результирующего вектора: $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
Полученный вектор $\vec{v}=(1,1,1)$ соответствует главной диагонали куба $\vec{AC_1}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

в) Найдем сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$.
В кубе все вертикальные ребра параллельны и равны, поэтому вектор $\vec{CC_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$ (а также $\vec{BB_1}$).
$\vec{AB} + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$. По правилу треугольника, эта сумма равна вектору $\vec{AB_1}$.
Длина вектора $\vec{AB_1}$ — это длина диагонали грани $ABB_1A_1$. Грань является единичным квадратом, поэтому ее диагональ равна $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
В координатах: $\vec{AB} = (1,0,0)$, $\vec{CC_1} = C_1 - C = (0,0,1)$. Сумма $\vec{v} = (1,0,1)$. Длина $|\vec{v}| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

г) Найдем сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD_1}$.
Представим вектор $\vec{CD_1}$ через сумму векторов, идущих по ребрам: $\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1}$.
В кубе $\vec{CD}$ направлен противоположно $\vec{AB}$, поэтому $\vec{CD} = -\vec{AB}$. Вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$.
Тогда $\vec{CD_1} = -\vec{AB} + \vec{AA_1}$.
Сумма: $\vec{AB} + \vec{CD_1} = \vec{AB} + (-\vec{AB} + \vec{AA_1}) = (\vec{AB} - \vec{AB}) + \vec{AA_1} = \vec{AA_1}$.
Длина вектора $\vec{AA_1}$ равна длине ребра куба, то есть 1.
В координатах: $\vec{AB} = (1,0,0)$, $\vec{CD_1} = D_1 - C = (-1,0,1)$. Сумма $\vec{v} = (1-1, 0+0, 0+1) = (0,0,1)$. Длина $|\vec{v}| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1$.
Ответ: 1.

д) Найдем сумму векторов $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.
Эти три вектора исходят из одной вершины и направлены вдоль трех взаимно перпендикулярных ребер куба. По правилу параллелепипеда, их сумма равна вектору главной диагонали куба, исходящей из той же вершины, то есть $\vec{AC_1}$.
Длина главной диагонали единичного куба равна $\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
В координатах: $\vec{AB} = (1,0,0)$, $\vec{AD} = (0,1,0)$, $\vec{AA_1} = (0,0,1)$. Сумма $\vec{v} = (1,1,1)$. Длина $|\vec{v}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.