Номер 18.10, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.10. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите длину вектора:

а) $\vec{AB} + \vec{AD}$;

б) $\vec{AB} + \vec{AD_1}$;

в) $\vec{AB} + \vec{CC_1}$;

г) $\vec{AB} + \vec{CD_1}$;

д) $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

Для решения задачи введем правую прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $A$ куба, а оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно. Так как куб единичный, его ребро имеет длину 1. В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

а) Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ соответствуют ребрам куба, исходящим из одной вершины. По правилу параллелограмма, их сумма равна вектору диагонали грани $ABCD$, также исходящему из вершины $A$:
$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
Длина вектора $\vec{AC}$ является длиной диагонали единичного квадрата. По теореме Пифагора она равна:
$|\vec{AC}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Проверим с помощью координат: $\vec{AB} = (1,0,0)$, $\vec{AD} = (0,1,0)$. Их сумма $\vec{v} = (1,1,0)$. Длина вектора $|\vec{v}| = \sqrt{1^2+1^2+0^2} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

б) Найдем сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD_1}$. Используем координатный метод.
Координаты векторов: $\vec{AB} = (1,0,0)$ и $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0,1,1)$.
Их сумма: $\vec{v} = \vec{AB} + \vec{AD_1} = (1+0, 0+1, 0+1) = (1,1,1)$.
Длина результирующего вектора: $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
Полученный вектор $\vec{v}=(1,1,1)$ соответствует главной диагонали куба $\vec{AC_1}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

в) Найдем сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$.
В кубе все вертикальные ребра параллельны и равны, поэтому вектор $\vec{CC_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$ (а также $\vec{BB_1}$).
$\vec{AB} + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$. По правилу треугольника, эта сумма равна вектору $\vec{AB_1}$.
Длина вектора $\vec{AB_1}$ — это длина диагонали грани $ABB_1A_1$. Грань является единичным квадратом, поэтому ее диагональ равна $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
В координатах: $\vec{AB} = (1,0,0)$, $\vec{CC_1} = C_1 - C = (0,0,1)$. Сумма $\vec{v} = (1,0,1)$. Длина $|\vec{v}| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

г) Найдем сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD_1}$.
Представим вектор $\vec{CD_1}$ через сумму векторов, идущих по ребрам: $\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1}$.
В кубе $\vec{CD}$ направлен противоположно $\vec{AB}$, поэтому $\vec{CD} = -\vec{AB}$. Вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$.
Тогда $\vec{CD_1} = -\vec{AB} + \vec{AA_1}$.
Сумма: $\vec{AB} + \vec{CD_1} = \vec{AB} + (-\vec{AB} + \vec{AA_1}) = (\vec{AB} - \vec{AB}) + \vec{AA_1} = \vec{AA_1}$.
Длина вектора $\vec{AA_1}$ равна длине ребра куба, то есть 1.
В координатах: $\vec{AB} = (1,0,0)$, $\vec{CD_1} = D_1 - C = (-1,0,1)$. Сумма $\vec{v} = (1-1, 0+0, 0+1) = (0,0,1)$. Длина $|\vec{v}| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1$.
Ответ: 1.

д) Найдем сумму векторов $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.
Эти три вектора исходят из одной вершины и направлены вдоль трех взаимно перпендикулярных ребер куба. По правилу параллелепипеда, их сумма равна вектору главной диагонали куба, исходящей из той же вершины, то есть $\vec{AC_1}$.
Длина главной диагонали единичного куба равна $\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
В координатах: $\vec{AB} = (1,0,0)$, $\vec{AD} = (0,1,0)$, $\vec{AA_1} = (0,0,1)$. Сумма $\vec{v} = (1,1,1)$. Длина $|\vec{v}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.