Номер 18.11, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1. Найдите длину вектора:

а) $\vec{AB} + \vec{FE}$;

б) $\vec{AB} + \vec{DC}$;

в) $\vec{AC} + \vec{DD_1}$;

г) $\vec{AB} + \vec{CE_1}$.

а) Требуется найти длину вектора $|\overline{AB} + \overline{FE}|$. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике вектор, соединяющий одну пару вершин, равен вектору, соединяющему другую пару вершин, если их можно совместить параллельным переносом. Так, вектор $\overline{FE}$ равен вектору $\overline{BC}$. Заменим $\overline{FE}$ на $\overline{BC}$ в сумме: $\overline{AB} + \overline{FE} = \overline{AB} + \overline{BC}$. По правилу треугольника для сложения векторов, $\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$. Таким образом, задача сводится к нахождению длины диагонали $AC$ шестиугольника. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как шестиугольник правильный, $|AB| = |BC| = 1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, поэтому $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$:$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC|\cos(\angle ABC)$$|AC|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$.Следовательно, длина искомого вектора равна $|\overline{AC}| = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

б) Требуется найти длину вектора $|\overline{AB} + \overline{DC}|$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ вектор $\overline{DC}$ равен вектору $\overline{FA}$. Выполним замену в исходном выражении: $\overline{AB} + \overline{DC} = \overline{AB} + \overline{FA}$. По правилу треугольника, $\overline{FA} + \overline{AB} = \overline{FB}$. Значит, нам нужно найти длину диагонали $FB$. Рассмотрим треугольник $FAB$. Стороны $|FA| = |AB| = 1$, а угол между ними $\angle FAB = 120^\circ$. По теореме косинусов:$|FB|^2 = |FA|^2 + |AB|^2 - 2|FA||AB|\cos(\angle FAB)$$|FB|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$.Следовательно, длина искомого вектора равна $|\overline{FB}| = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

в) Требуется найти длину вектора $|\overline{AC} + \overline{DD_1}|$. Призма правильная, значит она прямая, и боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, вектор $\overline{DD_1}$ перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости, в том числе и вектору $\overline{AC}$. Длина суммы двух перпендикулярных векторов находится по теореме Пифагора:$|\overline{AC} + \overline{DD_1}|^2 = |\overline{AC}|^2 + |\overline{DD_1}|^2$.Из пункта (а) мы знаем, что длина диагонали $|\overline{AC}| = \sqrt{3}$. По условию, длина бокового ребра равна 1, так что $|\overline{DD_1}| = 1$. Подставим эти значения:$|\overline{AC} + \overline{DD_1}|^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.Длина результирующего вектора равна $\sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2

г) Требуется найти длину вектора $|\overline{AB} + \overline{CE_1}|$. Разложим вектор $\overline{CE_1}$ на составляющие. По правилу треугольника, $\overline{CE_1} = \overline{CE} + \overline{EE_1}$. Вектор $\overline{CE}$ лежит в плоскости основания, и его можно разложить по сторонам шестиугольника: $\overline{CE} = \overline{CD} + \overline{DE}$. Таким образом, исходная сумма векторов равна:$\overline{AB} + \overline{CD} + \overline{DE} + \overline{EE_1}$.В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны и равны по длине, но направлены в противоположные стороны. В частности, для сторон $AB$ и $DE$ справедливо соотношение $\overline{AB} = -\overline{DE}$, или $\overline{AB} + \overline{DE} = \vec{0}$.Подставим это в сумму:$(\overline{AB} + \overline{DE}) + \overline{CD} + \overline{EE_1} = \vec{0} + \overline{CD} + \overline{EE_1} = \overline{CD} + \overline{EE_1}$.Так как призма правильная, все её боковые рёбра равны и параллельны, поэтому $\overline{EE_1} = \overline{DD_1}$.Сумма принимает вид $\overline{CD} + \overline{DD_1}$. По правилу треугольника, эта сумма равна вектору $\overline{CD_1}$.Вектор $\overline{CD_1}$ является диагональю боковой грани $CDD_1C_1$. Поскольку все рёбра призмы равны 1, эта грань является квадратом со стороной 1. Длина диагонали квадрата находится по теореме Пифагора:$|\overline{CD_1}| = \sqrt{|CD|^2 + |DD_1|^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.Следовательно, длина искомого вектора равна $\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$