Номер 18.9, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 18. Векторы в пространстве. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 18.9, страница 97.

Условия.

18.9. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 18.8). Найдите длину вектора $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA_1}$.

18.10. D

Рис. 18.8

Решение.

Решение 2.

18.9. По условию задачи, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основаниях лежат равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со стороной 1, а боковые ребра ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) перпендикулярны основаниям и их длина также равна 1.

Требуется найти длину вектора $\vec{s} = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA_1}$.

Для решения задачи применим метод последовательного сложения векторов. Сначала найдем сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, лежащих в плоскости основания призмы. Обозначим их сумму как $\vec{u} = \vec{AB} + \vec{AC}$.

Согласно правилу параллелограмма, вектор $\vec{u}$ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Поскольку длины этих векторов равны ($|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = 1$), этот параллелограмм является ромбом. В ромбе диагональ, выходящая из общего начала векторов, является биссектрисой угла между ними. Также сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равна удвоенному вектору медианы $\vec{AM}$, проведенной из их общего начала $A$ к стороне $BC$ треугольника $ABC$:$\vec{u} = 2\vec{AM}$.

Длину медианы $AM$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=1$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $AMB$, где $M$ — середина стороны $BC$:$|\vec{AM}| = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь мы можем найти длину вектора $\vec{u}$:$|\vec{u}| = |2\vec{AM}| = 2 \cdot |\vec{AM}| = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Таким образом, искомый вектор $\vec{s}$ можно представить как сумму двух векторов:$\vec{s} = (\vec{AB} + \vec{AC}) + \vec{AA_1} = \vec{u} + \vec{AA_1}$.

Вектор $\vec{u}$ лежит в плоскости основания $ABC$. Вектор $\vec{AA_1}$ является боковым ребром призмы и, по определению правильной призмы, перпендикулярен плоскости основания. Это означает, что векторы $\vec{u}$ и $\vec{AA_1}$ перпендикулярны друг другу ($\vec{u} \perp \vec{AA_1}$).

Длина вектора $\vec{s}$, который является суммой двух перпендикулярных векторов $\vec{u}$ и $\vec{AA_1}$, находится по теореме Пифагора:$|\vec{s}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{AA_1}|^2$.

Нам известны длины векторов-слагаемых: $|\vec{u}| = \sqrt{3}$ и $|\vec{AA_1}| = 1$. Подставим эти значения в формулу:$|\vec{s}|^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.

Следовательно, искомая длина вектора $\vec{s}$ равна:$|\vec{s}| = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2.