Номер 18.3, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.3. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A₁B₁C₁D₁E₁F₁ (рис. 18.9) укажите векторы с началом и концом в вершинах призмы, равные вектору:

а) $ \vec{AB} $;

б) $ \vec{AC} $;

в) $ \vec{AD} $;

г) $ \vec{AB_1} $;

д) $ \vec{AC_1} $.

Рис. 18.9

В данной задаче мы ищем векторы, равные заданным. Два вектора равны, если они сонаправлены (параллельны и указывают в одном направлении) и имеют одинаковую длину. Начало и конец искомых векторов должны находиться в вершинах правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

а) Найдем векторы, равные вектору $\vec{AB}$.

Вектор $\vec{AB}$ является стороной нижнего основания призмы.

1. В нижнем основании $ABCDEF$, которое является правильным шестиугольником, сторона $ED$ параллельна стороне $AB$ и равна ей по длине. Судя по расположению вершин на рисунке, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{ED}$ сонаправлены. Следовательно, $\vec{AB} = \vec{ED}$.

2. Верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получено из нижнего параллельным переносом. Значит, $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$.

3. В верхнем основании, по аналогии с нижним, $\vec{A_1B_1} = \vec{E_1D_1}$.

Таким образом, три вектора равны вектору $\vec{AB}$.

Ответ: $\vec{ED}$, $\vec{A_1B_1}$, $\vec{E_1D_1}$.

б) Найдем векторы, равные вектору $\vec{AC}$.

Вектор $\vec{AC}$ является меньшей диагональю нижнего основания.

1. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ меньшая диагональ $\vec{FD}$ параллельна диагонали $\vec{AC}$, равна ей по длине и сонаправлена. Это можно увидеть, рассмотрев равнобедренную трапецию $ACDF$. Таким образом, $\vec{AC} = \vec{FD}$.

2. В верхнем основании, являющемся копией нижнего, имеем равенства $\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$ и $\vec{F_1D_1} = \vec{FD}$.

Из этих равенств следует, что вектору $\vec{AC}$ равны три других вектора.

Ответ: $\vec{FD}$, $\vec{A_1C_1}$, $\vec{F_1D_1}$.

в) Найдем векторы, равные вектору $\vec{AD}$.

Вектор $\vec{AD}$ является большей диагональю правильного шестиугольника, проходящей через его центр.

1. В нижнем основании другие большие диагонали ($\vec{BE}$, $\vec{CF}$) не параллельны диагонали $\vec{AD}$, поэтому они не могут быть равными ей векторами.

2. В верхнем основании диагональ $\vec{A_1D_1}$ получена параллельным переносом диагонали $\vec{AD}$, поэтому $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$.

Других равных векторов с началом и концом в вершинах призмы нет.

Ответ: $\vec{A_1D_1}$.

г) Найдем векторы, равные вектору $\vec{AB_1}$.

Вектор $\vec{AB_1}$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. По правилу треугольника для векторов, $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$.

Чтобы найти равный ему вектор, нужно найти другую пару векторов, равных $\vec{AB}$ и $\vec{BB_1}$ соответственно, и сложить их.

1. Из пункта (а) мы знаем, что $\vec{ED} = \vec{AB}$.

2. Так как призма правильная, все ее боковые ребра равны и параллельны, то есть $\vec{DD_1} = \vec{BB_1}$.

3. Сложим найденные векторы: $\vec{ED} + \vec{DD_1}$. По правилу треугольника, их сумма равна вектору $\vec{ED_1}$.

Таким образом, $\vec{ED_1} = \vec{ED} + \vec{DD_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB_1}$.

Ответ: $\vec{ED_1}$.

д) Найдем векторы, равные вектору $\vec{AC_1}$.

Вектор $\vec{AC_1}$ является пространственной диагональю призмы. По правилу треугольника, $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$.

Будем действовать аналогично предыдущему пункту.

1. Из пункта (б) мы знаем, что $\vec{FD} = \vec{AC}$.

2. Боковые ребра призмы равны, следовательно $\vec{DD_1} = \vec{CC_1}$.

3. Сложим векторы: $\vec{FD} + \vec{DD_1}$. По правилу треугольника, их сумма равна $\vec{FD_1}$.

Следовательно, $\vec{FD_1} = \vec{FD} + \vec{DD_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1} = \vec{AC_1}$.

Ответ: $\vec{FD_1}$.