Номер 18.1, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 18. Векторы в пространстве. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 18.1, страница 96.

Условия.

18.1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 18.4) укажите векторы с началом и концом в вершинах куба, равные вектору $\vec{AB}$.

Рис. 18.4

Решение.

Решение 2.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены (то есть лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону) и их длины (модули) равны.

Вектор $\overrightarrow{AB}$ задан с началом в вершине $A$ и концом в вершине $B$. Его длина равна длине ребра куба, а направление совпадает с направлением ребра $AB$.

Для нахождения равных ему векторов с началом и концом в вершинах куба, необходимо найти все векторы, которые:

1. Параллельны вектору $\overrightarrow{AB}$.

2. Имеют ту же длину, что и вектор $\overrightarrow{AB}$ (то есть длину ребра куба).

3. Направлены в ту же сторону, что и вектор $\overrightarrow{AB}$.

Рассмотрим ребра куба, параллельные ребру $AB$:

- В нижней грани $ABCD$ ребру $AB$ параллельно ребро $DC$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $AB = DC$. Направление от $D$ к $C$ совпадает с направлением от $A$ к $B$. Следовательно, вектор $\overrightarrow{DC}$ равен вектору $\overrightarrow{AB}$.

- В верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ ребру $A_1B_1$ параллельно ребро $AB$ (по свойству куба). Длины ребер равны. Направление от $A_1$ к $B_1$ совпадает с направлением от $A$ к $B$. Следовательно, вектор $\overrightarrow{A_1B_1}$ равен вектору $\overrightarrow{AB}$.

- Также в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ ребру $A_1B_1$ параллельно ребро $D_1C_1$. Следовательно, $D_1C_1$ также параллельно $AB$. Длины ребер равны. Направление от $D_1$ к $C_1$ совпадает с направлением от $A_1$ к $B_1$ и, соответственно, с направлением от $A$ к $B$. Таким образом, вектор $\overrightarrow{D_1C_1}$ равен вектору $\overrightarrow{AB}$.

Других ребер, параллельных $AB$, в кубе нет. Таким образом, мы нашли все искомые векторы.

Ответ: $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{D_1C_1}$.