Задания, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что два ненулевых вектора в пространстве коллинеарны, если при откладывании их от одной точки они располагаются на одной прямой.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 18.2) укажите векторы с началом и концом в вершинах куба, равные вектору $\vec{AA_1}$.

Рис. 18.2

Докажите, что два ненулевых вектора в пространстве коллинеарны, если при откладывании их от одной точки они располагаются на одной прямой.

По определению, два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются коллинеарными, если существует такое действительное число $k \neq 0$, для которого выполняется равенство $\vec{b} = k\vec{a}$. Геометрически это означает, что векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Пусть даны два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Отложим их от произвольной точки O в пространстве. Получим векторы $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$.

Согласно условию задачи, при таком откладывании векторы располагаются на одной прямой. Это значит, что точки O, A и B лежат на одной прямой $l$. Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, точки A и B не совпадают с точкой O.

Возможны два случая расположения точек A и B относительно точки O на прямой $l$:

1. Точки A и B лежат по одну сторону от точки O. В этом случае векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ сонаправлены. Пусть их длины равны $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$. Отношение их длин $k = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$ будет положительным числом. Так как векторы сонаправлены и их длины связаны коэффициентом $k$, мы можем записать, что $\overrightarrow{OB} = k \cdot \overrightarrow{OA}$, то есть $\vec{b} = k\vec{a}$ при $k > 0$.

2. Точки A и B лежат по разные стороны от точки O. В этом случае векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ противоположно направлены. Отношение их длин $m = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$ по-прежнему положительно. Так как векторы направлены в противоположные стороны, связь между ними выражается как $\overrightarrow{OB} = -m \cdot \overrightarrow{OA}$. Положив $k = -m$, получим $k < 0$, и равенство примет вид $\overrightarrow{OB} = k \cdot \overrightarrow{OA}$, то есть $\vec{b} = k\vec{a}$ при $k < 0$.

В обоих случаях мы показали, что существует ненулевое число $k$, такое что $\vec{b} = k\vec{a}$. Следовательно, по определению, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Ответ: Доказано.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 18.2) укажите векторы с началом и концом в вершинах куба, равные вектору $\overrightarrow{AA_1}$.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины равны.

Вектор $\overrightarrow{AA_1}$ направлен вдоль бокового ребра куба от вершины A нижнего основания к вершине $A_1$ верхнего основания. Его длина равна длине ребра куба.

Чтобы найти равные ему векторы с началом и концом в вершинах куба, нужно найти векторы, которые удовлетворяют трем условиям:

1. Параллельность: Вектор должен быть параллелен ребру $AA_1$. В кубе все боковые ребра параллельны друг другу: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$.

2. Направление: Вектор должен быть направлен так же, как и $\overrightarrow{AA_1}$, то есть от нижнего основания к верхнему. Этому условию удовлетворяют векторы $\overrightarrow{BB_1}$, $\overrightarrow{CC_1}$ и $\overrightarrow{DD_1}$.

3. Длина: Длина вектора должна быть равна длине ребра куба. Так как все ребра куба равны, длины векторов $|\overrightarrow{BB_1}|$, $|\overrightarrow{CC_1}|$ и $|\overrightarrow{DD_1}|$ равны длине $|\overrightarrow{AA_1}|$.

Все три условия выполняются для векторов, соответствующих боковым ребрам $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$, направленным "вверх".

Ответ: Векторы, равные вектору $\overrightarrow{AA_1}$, это $\overrightarrow{BB_1}$, $\overrightarrow{CC_1}$, $\overrightarrow{DD_1}$.