Номер 17.11, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.11. Докажите, что в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ перпендикулярны плоскости:

а) $ABC$ и $ABB_1$;

б) $ABC$ и $ACC_1$;

в) $ABC$ и $ADD_1$;

г) $ACC_1$ и $BEE_1$;

д) $ADD_1$ и $BFF_1$.

В основе всех доказательств лежит определение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Это означает, что ее основаниями являются правильные шестиугольники, а сама призма — прямая. Из того, что призма прямая, следует, что все ее боковые ребра (например, $AA_1, BB_1$ и т.д.) перпендикулярны плоскостям оснований ($ABC$ и $A_1B_1C_1$).

а)

Рассмотрим плоскость основания $ABC$ и плоскость боковой грани $ABB_1$.

По определению правильной призмы, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Запишем это как $BB_1 \perp (ABC)$.

Прямая $BB_1$ принадлежит плоскости боковой грани $ABB_1$.

Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Так как плоскость $ABB_1$ содержит прямую $BB_1$, которая перпендикулярна плоскости $ABC$, то плоскость $ABB_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Рассмотрим плоскость основания $ABC$ и диагональную плоскость $ACC_1$. Эта плоскость определяется точками $A, C, C_1$ и также содержит точку $A_1$.

По определению правильной призмы, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, то есть $AA_1 \perp (ABC)$.

Прямая $AA_1$ принадлежит плоскости $ACC_1$.

Так как плоскость $ACC_1$ содержит прямую $AA_1$, перпендикулярную плоскости $ABC$, то по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $ACC_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

Рассмотрим плоскость основания $ABC$ и диагональную плоскость $ADD_1$. Эта плоскость определяется точками $A, D, D_1$ и также содержит точку $A_1$.

По определению правильной призмы, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, то есть $AA_1 \perp (ABC)$.

Прямая $AA_1$ принадлежит плоскости $ADD_1$.

Так как плоскость $ADD_1$ содержит прямую $AA_1$, перпендикулярную плоскости $ABC$, то по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $ADD_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г)

Рассмотрим диагональные плоскости $ACC_1$ и $BEE_1$. Чтобы доказать их перпендикулярность, мы докажем, что прямая $BE$, лежащая в плоскости $BEE_1$, перпендикулярна плоскости $ACC_1$.

Для этого необходимо доказать, что прямая $BE$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $ACC_1$. Выберем в качестве таких прямых $AC$ и $AA_1$.

1. Докажем, что $BE \perp AA_1$.
По определению правильной призмы, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Прямая $BE$ лежит в плоскости $ABC$. Следовательно, по определению перпендикулярности прямой и плоскости, $AA_1 \perp BE$.

2. Докажем, что $BE \perp AC$.
Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром $O$. Треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным ($AB=BC$), а угол $\angle ABC = 120^\circ$ (как внутренний угол правильного шестиугольника). Тогда углы при основании $AC$ равны $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.
В правильном шестиугольнике треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним, так как радиус описанной окружности равен стороне ($OA=OB=AB$). Поэтому $\angle OAB = 60^\circ$.
Пусть $K$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BE$. $K$ лежит на отрезке $OB$. Рассмотрим $\triangle ABK$. В нем $\angle KAB = \angle BAC = 30^\circ$. Угол $\angle ABK$ совпадает с углом $\angle ABO$ равностороннего $\triangle OAB$, поэтому $\angle ABK = 60^\circ$.
Найдем третий угол $\triangle ABK$: $\angle AKB = 180^\circ - \angle KAB - \angle ABK = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$.
Это означает, что прямые $AC$ и $BE$ перпендикулярны.

3. Заключение.
Мы доказали, что прямая $BE$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $AA_1$ в плоскости $ACC_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $BE \perp (ACC_1)$.
Поскольку прямая $BE$ принадлежит плоскости $BEE_1$, то по признаку перпендикулярности плоскостей, $(BEE_1) \perp (ACC_1)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

д)

Рассмотрим диагональные плоскости $ADD_1$ и $BFF_1$. Чтобы доказать их перпендикулярность, мы докажем, что прямая $BF$, лежащая в плоскости $BFF_1$, перпендикулярна плоскости $ADD_1$.

Для этого необходимо доказать, что прямая $BF$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $ADD_1$. Выберем в качестве таких прямых $AD$ и $AA_1$.

1. Докажем, что $BF \perp AA_1$.
По определению правильной призмы, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Прямая $BF$ лежит в этой плоскости основания. Следовательно, $AA_1 \perp BF$.

2. Докажем, что $BF \perp AD$.
Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Главная диагональ $AD$ является осью симметрии этого шестиугольника. При симметрии относительно прямой $AD$ вершина $B$ переходит в вершину $F$, а вершина $C$ — в вершину $E$.
По свойству осевой симметрии, отрезок, соединяющий две взаимно симметричные точки (в данном случае $B$ и $F$), перпендикулярен оси симметрии ($AD$). Следовательно, $BF \perp AD$.

3. Заключение.
Мы доказали, что прямая $BF$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AD$ и $AA_1$ в плоскости $ADD_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $BF \perp (ADD_1)$.
Поскольку прямая $BF$ принадлежит плоскости $BFF_1$, то по признаку перпендикулярности плоскостей, $(BFF_1) \perp (ADD_1)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.