Номер 17.7, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 17. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава II. Угол в пространстве. Расстояние в пространстве - номер 17.7, страница 90.

Условия.

лельвы?

17.7. Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через данную точку?

Решение.

Решение 2.

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть два возможных случая расположения данной точки относительно данной плоскости. Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $M$.

Случай 1: Точка $M$ лежит в данной плоскости $\alpha$.

Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости взаимно перпендикулярны. Через точку $M$, принадлежащую плоскости $\alpha$, можно провести единственную прямую $l$, которая будет перпендикулярна плоскости $\alpha$. Любая плоскость, проходящая через эту прямую $l$, будет перпендикулярна плоскости $\alpha$. Поскольку прямая $l$ проходит через точку $M$, все эти плоскости также будут проходить через точку $M$. Через одну прямую в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей (они образуют так называемый пучок плоскостей). Следовательно, если точка лежит в плоскости, через нее можно провести бесконечно много плоскостей, перпендикулярных данной.

Случай 2: Точка $M$ не лежит в данной плоскости $\alpha$.

Логика рассуждений здесь аналогична. Из точки $M$, не принадлежащей плоскости $\alpha$, можно провести единственную прямую $l$, перпендикулярную плоскости $\alpha$ (это перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость). Любая плоскость, которая содержит эту прямую $l$, будет перпендикулярна плоскости $\alpha$ по тому же признаку перпендикулярности плоскостей. И так как точка $M$ лежит на прямой $l$, все эти плоскости будут проходить через точку $M$. Как и в первом случае, через прямую $l$ проходит бесконечное множество плоскостей. Следовательно, если точка не лежит в плоскости, через нее также можно провести бесконечно много плоскостей, перпендикулярных данной.

Таким образом, вне зависимости от того, принадлежит ли данная точка данной плоскости или нет, через нее можно провести бесконечно много плоскостей, перпендикулярных этой плоскости.

Ответ: Бесконечно много.