Номер 17.8, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.8. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите тангенс угла между плоскостями:

а) $ABC$ и $AB_1D_1$;

б) $ABC$ и $ACB_1$.

а) $ABC$ и $AB_1D_1$

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат, ребро $AB$ лежит на оси $Ox$, ребро $AD$ — на оси $Oy$, а ребро $AA_1$ — на оси $Oz$. Примем длину ребра куба равной $a$. Тогда координаты вершин будут:

$A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $D(0, a, 0)$

$A_1(0, 0, a)$, $B_1(a, 0, a)$, $C_1(a, a, a)$, $D_1(0, a, a)$

Угол между двумя плоскостями можно найти как угол между их нормальными векторами.

Плоскость $ABC$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$, ее уравнение $z=0$. Нормальный вектор к этой плоскости $\vec{n}_1$ сонаправлен с осью $Oz$, поэтому $\vec{n}_1 = (0, 0, 1)$.

Найдем нормальный вектор $\vec{n}_2$ к плоскости $AB_1D_1$. Эта плоскость проходит через точки $A(0, 0, 0)$, $B_1(a, 0, a)$ и $D_1(0, a, a)$. Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости: $\vec{AB_1} = (a-0, 0-0, a-0) = (a, 0, a)$ и $\vec{AD_1} = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$.

Вектор нормали $\vec{n}_2$ перпендикулярен обоим этим векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n}_2 = \vec{AB_1} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & a \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - a \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - a \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot 0) = -a^2\mathbf{i} - a^2\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = (-a^2, -a^2, a^2)$.

Для удобства можно использовать коллинеарный ему вектор, разделив на $-a^2$: $\vec{n'}_2 = (1, 1, -1)$.

Теперь найдем косинус угла $\alpha$ между нормальными векторами $\vec{n}_1$ и $\vec{n'}_2$:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n'}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n'}_2|} = \frac{|(0 \cdot 1) + (0 \cdot 1) + (1 \cdot (-1))|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Тангенс угла $\alpha$ найдем, используя тригонометрическое тождество $1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$:

$\tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 = \frac{1}{(1/\sqrt{3})^2} - 1 = 3 - 1 = 2$.

Поскольку угол между плоскостями острый, $\tan \alpha > 0$, следовательно, $\tan \alpha = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

б) $ABC$ и $ACB_1$

Для нахождения угла между плоскостями $ABC$ и $ACB_1$ воспользуемся геометрическим методом. Пусть ребро куба равно $a$.

Плоскости $ABC$ и $ACB_1$ пересекаются по прямой $AC$, так как точки $A$ и $C$ принадлежат обеим плоскостям. Угол между плоскостями — это двугранный угол, который измеряется своим линейным углом. Чтобы построить линейный угол, нужно в каждой из плоскостей провести перпендикуляр к линии их пересечения $AC$ в одной и той же точке.

1. В плоскости основания $ABC$ проведем диагональ $BD$. В квадрате $ABCD$ диагонали перпендикулярны, то есть $BD \perp AC$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $BO \perp AC$.

2. В плоскости $ACB_1$ рассмотрим треугольник $\triangle ACB_1$. Найдем длины его сторон:
$AC$ — диагональ квадрата со стороной $a$, $AC = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.
$AB_1$ — диагональ грани $ABB_1A_1$, $AB_1 = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.
$CB_1$ — диагональ грани $BCC_1B_1$, $CB_1 = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.
Все стороны треугольника $\triangle ACB_1$ равны, следовательно, он равносторонний. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также и высотой. Точка $O$ — середина $AC$. Значит, медиана $B_1O$ является и высотой, то есть $B_1O \perp AC$.

3. Мы построили два перпендикуляра ($BO$ и $B_1O$) к линии пересечения $AC$ в одной точке $O$. Следовательно, угол между плоскостями $ABC$ и $ACB_1$ равен углу $\angle B_1OB$.

4. Найдем тангенс этого угла. Рассмотрим треугольник $\triangle B_1BO$. Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $BO$. Таким образом, $\triangle B_1BO$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle B_1BO$.
Длины катетов:
$BB_1 = a$ (ребро куба).
$BO$ — половина диагонали $BD$, $BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2}(a\sqrt{2}) = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Тангенс угла $\angle B_1OB$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\angle B_1OB) = \frac{BB_1}{BO} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{2a}{a\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.