Номер 17.15, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.15. Найдите косинус двугранного угла, образованного соседними гранями правильного тетраэдра (рис. 17.17).

D

A

C

B

Рис. 17.17

17.15. Правильный тетраэдр — это многогранник, все четыре грани которого являются равными равносторонними треугольниками. Пусть D-ABC — данный правильный тетраэдр, и длина его ребра равна $a$.

Найдём косинус двугранного угла между двумя соседними гранями, например, между гранью основания $ABC$ и боковой гранью $DBC$. Общее ребро этих граней — $BC$. Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Для его построения проведём к ребру $BC$ перпендикуляры, лежащие в плоскостях граней. Проведём в равностороннем треугольнике $ABC$ высоту $AM$ к стороне $BC$. Так как треугольник равносторонний, $AM$ является также медианой, и точка $M$ — середина $BC$. Аналогично, в равностороннем треугольнике $DBC$ проведём высоту $DM$ к стороне $BC$. Она также придёт в точку $M$. Таким образом, угол $\angle AMD$ — это искомый линейный угол двугранного угла. Обозначим его $\alpha$.

Длина высоты (а также медианы) в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, длины сторон треугольника $AMD$ равны: $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ и $AD = a$ (поскольку $AD$ — ребро тетраэдра).

Применим к треугольнику $AMD$ теорему косинусов для нахождения $\cos(\alpha)$: $AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos(\alpha)$.

Подставим известные значения в формулу и выполним преобразования:$a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\alpha)$$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$$a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a > 0$): $1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\alpha)$.Отсюда находим косинус угла:$\frac{3}{2} \cos(\alpha) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$$\cos(\alpha) = \frac{1}{2} \div \frac{3}{2} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.