Страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.12. У правильной четырехугольной пирамиды все ребра равны (рис. 17.14). Найдите тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием пирамиды.

Рис. 17.14

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида S-ABCD, где S – вершина, а ABCD – квадрат в основании. По условию, все ребра пирамиды равны. Обозначим длину ребра как $a$. Таким образом, $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = a$.

Следовательно, основание пирамиды — это квадрат со стороной $a$, а боковые грани — это равносторонние треугольники со стороной $a$.

Нам нужно найти тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием. Этот угол является углом между плоскостью боковой грани (например, SBC) и плоскостью основания (ABCD). Линия пересечения этих плоскостей — ребро BC.

Для нахождения этого угла построим его линейный угол. Для этого опустим два перпендикуляра к общему ребру BC в одной и той же точке M, по одному в каждой плоскости.

1. Пусть O — центр квадрата ABCD. Проведем в плоскости основания отрезок OM, где M — середина стороны BC. Так как O — центр квадрата, OM перпендикулярен BC ($OM \perp BC$). Длина OM равна половине стороны квадрата: $OM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$.

2. В плоскости боковой грани SBC проведем апофему SM. Поскольку треугольник SBC равносторонний, его медиана SM, проведенная к середине стороны BC, также является его высотой. Следовательно, $SM \perp BC$. Длину апофемы SM можно найти по формуле высоты равностороннего треугольника: $SM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Угол $\angle SMO$ является линейным углом искомого двугранного угла, так как его стороны OM и SM перпендикулярны ребру BC.

Чтобы найти тангенс угла $\angle SMO$, рассмотрим прямоугольный треугольник SOM. В этом треугольнике SO — высота пирамиды, и она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и отрезку OM. Следовательно, $\angle SOM = 90^\circ$.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}$

Прилежащий катет OM нам известен: $OM = \frac{a}{2}$. Найдем длину противолежащего катета SO (высоту пирамиды) из треугольника SOM по теореме Пифагора:$SO^2 = SM^2 - OM^2$

Подставим известные значения длин SM и OM:$SO^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

$SO = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Теперь мы можем вычислить тангенс искомого угла:$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

17.13. У правильной шестиугольной пирамиды стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 17.15). Найдите тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием пирамиды.

Рис. 17.15

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ с вершиной $S$ и центром основания $O$. По условию, стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2. То есть, $AB = BC = \dots = FA = 1$, и $SA = SB = \dots = SF = 2$.

Двугранный угол, образованный боковой гранью и основанием пирамиды, — это угол между плоскостью боковой грани (например, плоскостью $(SAB)$) и плоскостью основания $(ABC)$. Линией пересечения этих плоскостей является ребро основания $AB$.

Для измерения этого двугранного угла построим его линейный угол. Для этого в точке на ребре $AB$ восстановим два перпендикуляра к этому ребру: один в плоскости боковой грани, другой — в плоскости основания.

1. В боковой грани $SAB$, которая является равнобедренным треугольником ($SA=SB=2$), проведем апофему (высоту) $SH$ к основанию $AB$. Так как треугольник $SAB$ равнобедренный, медиана $SH$ является и высотой, то есть $SH \perp AB$. Точка $H$ — середина отрезка $AB$.

2. В плоскости основания проведем отрезок $OH$, где $O$ — центр правильного шестиугольника. Этот отрезок является апофемой основания. В правильном многоугольнике апофема, проведенная к стороне, перпендикулярна этой стороне. Следовательно, $OH \perp AB$.

Поскольку $SH \perp AB$ и $OH \perp AB$, угол $\angle SHO$ является линейным углом искомого двугранного угла. Найдем его тангенс.

Рассмотрим треугольник $SOH$. Так как пирамида правильная, ее высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и $OH$. Таким образом, треугольник $SOH$ — прямоугольный с прямым углом $\angle SOH$.

Тангенс угла $\angle SHO$ в прямоугольном треугольнике $SOH$ равен отношению противолежащего катета $SO$ к прилежащему катету $OH$:

$\tan(\angle SHO) = \frac{SO}{OH}$

Найдем длины катетов $SO$ и $OH$.

Нахождение $OH$:

Основание пирамиды — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1. Этот шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников. Рассмотрим один из них — $\triangle OAB$. Его стороны равны $OA = OB = AB = 1$. Отрезок $OH$ является высотой в этом равностороннем треугольнике. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$OH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нахождение $SO$:

Высоту пирамиды $SO$ найдем из прямоугольного треугольника $SOA$. Катет $OA$ — это радиус окружности, описанной около основания, и для правильного шестиугольника он равен стороне, то есть $OA = 1$. Гипотенуза $SA$ — это боковое ребро пирамиды, $SA = 2$. По теореме Пифагора:

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

$2^2 = SO^2 + 1^2$

$4 = SO^2 + 1$

$SO^2 = 3$

$SO = \sqrt{3}$

Вычисление тангенса:

Теперь мы можем вычислить тангенс искомого угла:

$\tan(\angle SHO) = \frac{SO}{OH} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2$.

Ответ: $2$.

17.14. Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 230 м, а высота около 138 м (рис. 17.16). Найдите тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием этой пирамиды. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите приближенное значение этого угла.

Рис. 17.16

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание со стороной $a = 230$ м, а $S$ — вершина. Высота пирамиды $SO$ опускается в центр основания $O$ и равна $H = 138$ м.

Найдите тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием этой пирамиды.

Двугранный угол между боковой гранью (например, $SCD$) и основанием ($ABCD$) измеряется линейным углом. Для его построения проведем апофему боковой грани $SM$, где $M$ — середина ребра основания $CD$. Так как пирамида правильная, треугольник $SCD$ является равнобедренным, и его медиана $SM$ является также и высотой, то есть $SM \perp CD$. В плоскости основания проведем отрезок $OM$. Так как $O$ — центр квадрата, а $M$ — середина стороны $CD$, то $OM$ перпендикулярен $CD$. Таким образом, угол $\angle SMO$ является искомым линейным углом. Обозначим его $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$, в котором $\angle SOM = 90^\circ$. Катет $SO$ — это высота пирамиды, $SO = 138$ м. Катет $OM$ — это половина стороны основания, так как $O$ — центр квадрата. Следовательно, $OM = \frac{a}{2} = \frac{230}{2} = 115$ м.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Для угла $\alpha$ получаем: $tg(\alpha) = \frac{SO}{OM} = \frac{138}{115} = 1.2$.

Ответ: Тангенс двугранного угла равен 1,2.

Используя таблицу тригонометрических функций, найдите приближенное значение этого угла.

Нам известно, что $tg(\alpha) = 1.2$. Чтобы найти угол $\alpha$, обратимся к таблице тангенсов. В таблице находим значения, наиболее близкие к 1,2: $tg(50^\circ) \approx 1.1918$ и $tg(51^\circ) \approx 1.2349$.

Поскольку $1.1918 < 1.2 < 1.2349$, можно заключить, что $50^\circ < \alpha < 51^\circ$. Для нахождения более точного значения сравним, к какому из табличных значений наше число ближе. Разница с $tg(50^\circ)$ составляет $1.2 - 1.1918 = 0.0082$. Разница с $tg(51^\circ)$ составляет $1.2349 - 1.2 = 0.0349$. Так как $0.0082$ меньше, чем $0.0349$, значение $tg(\alpha) = 1.2$ значительно ближе к $tg(50^\circ)$. Таким образом, приближенное значение угла составляет около $50^\circ$.

Ответ: Приближенное значение угла около $50^\circ$.

17.15. Найдите косинус двугранного угла, образованного соседними гранями правильного тетраэдра (рис. 17.17).

D

A

C

B

Рис. 17.17

17.15. Правильный тетраэдр — это многогранник, все четыре грани которого являются равными равносторонними треугольниками. Пусть D-ABC — данный правильный тетраэдр, и длина его ребра равна $a$.

Найдём косинус двугранного угла между двумя соседними гранями, например, между гранью основания $ABC$ и боковой гранью $DBC$. Общее ребро этих граней — $BC$. Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Для его построения проведём к ребру $BC$ перпендикуляры, лежащие в плоскостях граней. Проведём в равностороннем треугольнике $ABC$ высоту $AM$ к стороне $BC$. Так как треугольник равносторонний, $AM$ является также медианой, и точка $M$ — середина $BC$. Аналогично, в равностороннем треугольнике $DBC$ проведём высоту $DM$ к стороне $BC$. Она также придёт в точку $M$. Таким образом, угол $\angle AMD$ — это искомый линейный угол двугранного угла. Обозначим его $\alpha$.

Длина высоты (а также медианы) в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, длины сторон треугольника $AMD$ равны: $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ и $AD = a$ (поскольку $AD$ — ребро тетраэдра).

Применим к треугольнику $AMD$ теорему косинусов для нахождения $\cos(\alpha)$: $AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos(\alpha)$.

Подставим известные значения в формулу и выполним преобразования:$a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\alpha)$$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$$a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a > 0$): $1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\alpha)$.Отсюда находим косинус угла:$\frac{3}{2} \cos(\alpha) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$$\cos(\alpha) = \frac{1}{2} \div \frac{3}{2} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.