Страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1. Найдите длину вектора:

а) $\vec{AB} + \vec{FE}$;

б) $\vec{AB} + \vec{DC}$;

в) $\vec{AC} + \vec{DD_1}$;

г) $\vec{AB} + \vec{CE_1}$.

а) Требуется найти длину вектора $|\overline{AB} + \overline{FE}|$. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике вектор, соединяющий одну пару вершин, равен вектору, соединяющему другую пару вершин, если их можно совместить параллельным переносом. Так, вектор $\overline{FE}$ равен вектору $\overline{BC}$. Заменим $\overline{FE}$ на $\overline{BC}$ в сумме: $\overline{AB} + \overline{FE} = \overline{AB} + \overline{BC}$. По правилу треугольника для сложения векторов, $\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$. Таким образом, задача сводится к нахождению длины диагонали $AC$ шестиугольника. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как шестиугольник правильный, $|AB| = |BC| = 1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, поэтому $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$:$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC|\cos(\angle ABC)$$|AC|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$.Следовательно, длина искомого вектора равна $|\overline{AC}| = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

б) Требуется найти длину вектора $|\overline{AB} + \overline{DC}|$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ вектор $\overline{DC}$ равен вектору $\overline{FA}$. Выполним замену в исходном выражении: $\overline{AB} + \overline{DC} = \overline{AB} + \overline{FA}$. По правилу треугольника, $\overline{FA} + \overline{AB} = \overline{FB}$. Значит, нам нужно найти длину диагонали $FB$. Рассмотрим треугольник $FAB$. Стороны $|FA| = |AB| = 1$, а угол между ними $\angle FAB = 120^\circ$. По теореме косинусов:$|FB|^2 = |FA|^2 + |AB|^2 - 2|FA||AB|\cos(\angle FAB)$$|FB|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$.Следовательно, длина искомого вектора равна $|\overline{FB}| = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

в) Требуется найти длину вектора $|\overline{AC} + \overline{DD_1}|$. Призма правильная, значит она прямая, и боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, вектор $\overline{DD_1}$ перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости, в том числе и вектору $\overline{AC}$. Длина суммы двух перпендикулярных векторов находится по теореме Пифагора:$|\overline{AC} + \overline{DD_1}|^2 = |\overline{AC}|^2 + |\overline{DD_1}|^2$.Из пункта (а) мы знаем, что длина диагонали $|\overline{AC}| = \sqrt{3}$. По условию, длина бокового ребра равна 1, так что $|\overline{DD_1}| = 1$. Подставим эти значения:$|\overline{AC} + \overline{DD_1}|^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.Длина результирующего вектора равна $\sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2

г) Требуется найти длину вектора $|\overline{AB} + \overline{CE_1}|$. Разложим вектор $\overline{CE_1}$ на составляющие. По правилу треугольника, $\overline{CE_1} = \overline{CE} + \overline{EE_1}$. Вектор $\overline{CE}$ лежит в плоскости основания, и его можно разложить по сторонам шестиугольника: $\overline{CE} = \overline{CD} + \overline{DE}$. Таким образом, исходная сумма векторов равна:$\overline{AB} + \overline{CD} + \overline{DE} + \overline{EE_1}$.В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны и равны по длине, но направлены в противоположные стороны. В частности, для сторон $AB$ и $DE$ справедливо соотношение $\overline{AB} = -\overline{DE}$, или $\overline{AB} + \overline{DE} = \vec{0}$.Подставим это в сумму:$(\overline{AB} + \overline{DE}) + \overline{CD} + \overline{EE_1} = \vec{0} + \overline{CD} + \overline{EE_1} = \overline{CD} + \overline{EE_1}$.Так как призма правильная, все её боковые рёбра равны и параллельны, поэтому $\overline{EE_1} = \overline{DD_1}$.Сумма принимает вид $\overline{CD} + \overline{DD_1}$. По правилу треугольника, эта сумма равна вектору $\overline{CD_1}$.Вектор $\overline{CD_1}$ является диагональю боковой грани $CDD_1C_1$. Поскольку все рёбра призмы равны 1, эта грань является квадратом со стороной 1. Длина диагонали квадрата находится по теореме Пифагора:$|\overline{CD_1}| = \sqrt{|CD|^2 + |DD_1|^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.Следовательно, длина искомого вектора равна $\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$

18.12. В каком случае длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых?

18.13. В параллелопипеде ABCD, B, C, D

Равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ является случаем, когда в неравенстве треугольника для векторов ($|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$) достигается знак равенства. Длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых векторов тогда и только тогда, когда все векторы-слагаемые сонаправлены. Это означает, что они коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых) и направлены в одну сторону.

Рассмотрим это утверждение подробнее.

Геометрическое объяснение

При сложении векторов по правилу "треугольника" (или "цепочки" для нескольких векторов), мы последовательно откладываем один вектор от конца другого. В общем случае, если векторы не коллинеарны, они образуют ломаную линию, а вектор суммы замыкает ее, образуя треугольник (или многоугольник). Длина вектора-суммы будет равна длине отрезка, соединяющего начало первого и конец последнего вектора. По свойству ломаной, ее длина (сумма длин векторов) больше длины замыкающего отрезка (длины вектора-суммы).

Равенство длин достигается только тогда, когда эта ломаная "выпрямляется" в один отрезок. Это происходит, когда все векторы лежат на одной прямой и направлены в одну сторону. В этом случае, откладывая векторы один за другим, мы просто движемся вдоль прямой в одном направлении, и общая пройденная длина (длина вектора-суммы) будет равна сумме длин отдельных отрезков (длин векторов-слагаемых).

Алгебраическое доказательство

Рассмотрим равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Поскольку обе части неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не нарушая эквивалентности:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

Используем свойство скалярного произведения: квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату, то есть $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

Преобразуем левую часть: $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Преобразуем правую часть по формуле квадрата суммы: $(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$.

Приравняем полученные выражения: $|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$.

Упростив, получаем: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$.

По определению, скалярное произведение векторов равно $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Подставим это в наше равенство: $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = |\vec{a}||\vec{b}|$.

Если оба вектора ненулевые (то есть их длины не равны нулю), мы можем сократить $|\vec{a}||\vec{b}|$: $\cos\theta = 1$.

Это равенство истинно, когда угол $\theta = 0°$. Нулевой угол между векторами означает, что они сонаправлены.

Если же хотя бы один из векторов является нулевым (например, $\vec{a} = \vec{0}$), то исходное равенство также выполняется: $|\vec{0} + \vec{b}| = |\vec{b}|$ и $|\vec{0}| + |\vec{b}| = 0 + |\vec{b}| = |\vec{b}|$. Нулевой вектор по определению считается сонаправленным с любым другим вектором.

Этот вывод можно обобщить на любое количество слагаемых.

Ответ: Длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых тогда и только тогда, когда все векторы-слагаемые сонаправлены (то есть коллинеарны и имеют одинаковое направление). Это также включает случай, когда один или несколько векторов являются нулевыми.

18.13. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 18.11) укажите вектор:

а) $\vec{AB} - \vec{AA_1}$;

б) $\vec{AC} - \vec{DD_1}$;

в) $\vec{AB_1} - \vec{BC_1}$;

г) $2\vec{AB} + \vec{BD_1}$.

Рис. 18.11

а) Для нахождения разности векторов $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA_1}$ воспользуемся правилом вычитания векторов, исходящих из одной точки: $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$. Поскольку оба вектора, $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AA_1}$, начинаются в точке A, их разность будет вектором, соединяющим их концы и направленным от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого. Таким образом, получаем:
$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{A_1B}$.
Ответ: $\overrightarrow{A_1B}$.

б) В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ векторы, соответствующие параллельным и равным по длине ребрам, равны. Следовательно, вектор $\overrightarrow{DD_1}$ равен вектору $\overrightarrow{AA_1}$, так как ребра $DD_1$ и $AA_1$ параллельны и равны.
Заменим в выражении вектор $\overrightarrow{DD_1}$ на равный ему вектор $\overrightarrow{AA_1}$:
$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA_1}$.
Теперь мы имеем разность двух векторов, исходящих из одной точки A. По правилу вычитания векторов получаем:
$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{A_1C}$.
Ответ: $\overrightarrow{A_1C}$.

в) Чтобы упростить выражение $\overrightarrow{AB_1} - \overrightarrow{BC_1}$, найдем вектор, равный вектору $\overrightarrow{BC_1}$. Вектор $\overrightarrow{BC_1}$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. Равный ему вектор $\overrightarrow{AD_1}$ является диагональю параллельной грани $ADD_1A_1$. Это следует из того, что $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{DD_1}$, а значит $\overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AD_1}$.
Подставим $\overrightarrow{AD_1}$ вместо $\overrightarrow{BC_1}$:
$\overrightarrow{AB_1} - \overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{AB_1} - \overrightarrow{AD_1}$.
Применяя правило вычитания векторов, исходящих из одной точки A, получаем:
$\overrightarrow{AB_1} - \overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{D_1B_1}$.
Вектор $\overrightarrow{D_1B_1}$ равен вектору $\overrightarrow{DB}$, так как они являются соответствующими диагоналями параллельных оснований $A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$.
Ответ: $\overrightarrow{DB}$.

г) Рассмотрим выражение $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD_1}$. Представим $2\overrightarrow{AB}$ как $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}$.
Выражение примет вид: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD_1}$.
Сгруппируем второе и третье слагаемые и применим правило треугольника для сложения векторов:
$\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD_1}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD_1}$.
Теперь нам нужно сложить векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD_1}$. Заменим вектор $\overrightarrow{AB}$ на равный ему вектор $\overrightarrow{D_1C_1}$ (так как $ABD_1C_1$ - параллелограмм):
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{D_1C_1} + \overrightarrow{AD_1}$.
Поменяем слагаемые местами для удобства: $\overrightarrow{AD_1} + \overrightarrow{D_1C_1}$.
По правилу треугольника, сумма этих векторов равна вектору, соединяющему начало первого и конец второго:
$\overrightarrow{AD_1} + \overrightarrow{D_1C_1} = \overrightarrow{AC_1}$.
Ответ: $\overrightarrow{AC_1}$.

18.14. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора:

а) $\vec{AB} - \vec{AA_1}$;

б) $\vec{AC} - \vec{DD_1}$;

в) $\vec{AB_1} - \vec{BC_1}$;

г) $2\vec{AB} + \vec{BD_1}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной A, а оси Ox, Oy, Oz направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

Координаты вершин куба будут следующими:

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0)

A₁(0, 0, 1), B₁(1, 0, 1), C₁(1, 1, 1), D₁(0, 1, 1)

Длина (модуль) вектора $\vec{v}=(x, y, z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

а) Найдем длину вектора $\vec{AB} - \vec{AA_1}$.

Сначала найдем координаты векторов, входящих в выражение:

$\vec{AB} = (1-0, 0-0, 0-0) = (1, 0, 0)$

$\vec{AA_1} = (0-0, 0-0, 1-0) = (0, 0, 1)$

Теперь найдем координаты результирующего вектора:

$\vec{AB} - \vec{AA_1} = (1, 0, 0) - (0, 0, 1) = (1, 0, -1)$.

Вычислим его длину:

$|\vec{AB} - \vec{AA_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.

Геометрически, разность векторов $\vec{AB} - \vec{AA_1}$ соответствует вектору $\vec{A_1B}$, который является диагональю грани $AA_1B_1B$. Длина диагонали квадрата со стороной 1 равна $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

б) Найдем длину вектора $\vec{AC} - \vec{DD_1}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{AC} = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)$

$\vec{DD_1} = (0-0, 1-1, 1-0) = (0, 0, 1)$

Найдем координаты результирующего вектора:

$\vec{AC} - \vec{DD_1} = (1, 1, 0) - (0, 0, 1) = (1, 1, -1)$.

Вычислим его длину:

$|\vec{AC} - \vec{DD_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Геометрически, в кубе вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$. Тогда разность $\vec{AC} - \vec{DD_1}$ равна $\vec{AC} - \vec{AA_1}$, что соответствует вектору $\vec{A_1C}$. Этот вектор является пространственной диагональю куба, и его длина равна $\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

в) Найдем длину вектора $\vec{AB_1} - \vec{BC_1}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{AB_1} = (1-0, 0-0, 1-0) = (1, 0, 1)$

$\vec{BC_1} = (1-1, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$

Найдем координаты результирующего вектора:

$\vec{AB_1} - \vec{BC_1} = (1, 0, 1) - (0, 1, 1) = (1, -1, 0)$.

Вычислим его длину:

$|\vec{AB_1} - \vec{BC_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$.

Геометрически, вектор $\vec{BC_1}$ равен вектору $\vec{AD_1}$. Тогда разность $\vec{AB_1} - \vec{BC_1}$ равна $\vec{AB_1} - \vec{AD_1}$, что соответствует вектору $\vec{D_1B_1}$. Вектор $\vec{D_1B_1}$ равен вектору $\vec{DB}$, который является диагональю основания $ABCD$. Его длина равна $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

г) Найдем длину вектора $2\vec{AB} + \vec{BD_1}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{AB} = (1, 0, 0)$, следовательно $2\vec{AB} = 2 \cdot (1, 0, 0) = (2, 0, 0)$.

$\vec{BD_1} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$.

Найдем координаты результирующего вектора:

$2\vec{AB} + \vec{BD_1} = (2, 0, 0) + (-1, 1, 1) = (1, 1, 1)$.

Вычислим его длину:

$|2\vec{AB} + \vec{BD_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Геометрически, по правилу сложения векторов $\vec{AB} + \vec{BD_1} = \vec{AD_1}$. Тогда искомый вектор можно представить как $\vec{AB} + (\vec{AB} + \vec{BD_1}) = \vec{AB} + \vec{AD_1}$. Сумма векторов, выходящих из одной точки, равна вектору диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах. В нашем случае это вектор $\vec{AC_1}$ (поскольку $\vec{AD_1} = \vec{BC_1}$ и $\vec{AB} + \vec{BC_1} = \vec{AC_1}$), который является пространственной диагональю куба. Его длина равна $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

Докажите, что три ненулевых вектора в пространстве компланарны, если при откладывании их от одной точки они располагаются в одной плоскости.

Для доказательства нам понадобится определение компланарных векторов. Три вектора называются компланарными, если существуют равные им векторы, которые лежат в одной и той же плоскости.

Пусть нам даны три ненулевых вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Согласно свойству векторов, мы можем отложить от любой точки пространства вектор, равный данному. Выберем произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ так, что:
$\vec{OA} = \vec{a}$
$\vec{OB} = \vec{b}$
$\vec{OC} = \vec{c}$

По условию задачи, если отложить три вектора от одной точки, они будут располагаться в одной плоскости. Это означает, что векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ лежат в некоторой плоскости (назовем ее $\alpha$).

Таким образом, мы нашли три вектора ($\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$), которые одновременно удовлетворяют двум условиям:
1. Они равны исходным векторам $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ соответственно.
2. Они все лежат в одной плоскости $\alpha$.

Эти два условия в точности соответствуют определению компланарности для векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Следовательно, данные векторы являются компланарными. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. По определению, векторы компланарны, если существуют равные им векторы, лежащие в одной плоскости. Условие задачи как раз и постулирует существование таких векторов, когда их откладывают от одной точки.