Страница 102 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется углом между векторами?

2. Какие два вектора называются перпендикулярными?

3. Что называется скалярным произведением двух векторов?

4. Как обозначается скалярное произведение?

5. Что называется скалярным квадратом?

6. В каком случае скалярное произведение двух векторов равно нулю?

7. Какой физический смысл имеет скалярное произведение?

1. Что называется углом между векторами?

Углом между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется угол между лучами $OA$ и $OB$, где $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$, то есть векторы отложены от одной точки. Этот угол, обозначаемый как $\alpha$ или $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$, может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан). Если хотя бы один из векторов нулевой, угол между ними не определен, но для удобства его можно считать любым.

Ответ: Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется наименьший угол между ними. Его величина находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$.

2. Какие два вектора называются перпендикулярными?

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если угол между ними равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). Нулевой вектор считается перпендикулярным любому вектору.

Ответ: Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$.

3. Что называется скалярным произведением двух векторов?

Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов является нулевым, их скалярное произведение считается равным нулю. Формула для скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

Ответ: Скалярное произведение — это число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними.

4. Как обозначается скалярное произведение?

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обычно обозначается точкой между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Также в некоторых источниках можно встретить обозначение в виде $(\vec{a}, \vec{b})$ или просто $\vec{a}\vec{b}$.

Ответ: Скалярное произведение обозначается как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$.

5. Что называется скалярным квадратом?

Скалярным квадратом вектора $\vec{a}$ называется скалярное произведение этого вектора на самого себя. Обозначается как $\vec{a}^2$. Так как угол между вектором и им самим равен $0^\circ$, а $\cos(0^\circ)=1$, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля):

$\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(0^\circ) = |\vec{a}|^2$

Ответ: Скалярный квадрат — это скалярное произведение вектора на самого себя, равное квадрату длины этого вектора.

6. В каком случае скалярное произведение двух векторов равно нулю?

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$ равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это возможно в двух случаях:

1. Хотя бы один из векторов является нулевым (то есть его длина $|\vec{a}|$ или $|\vec{b}|$ равна нулю).

2. Векторы перпендикулярны (ортогональны). В этом случае угол между ними $\alpha = 90^\circ$, и $\cos(90^\circ) = 0$.

Ответ: Скалярное произведение равно нулю, если векторы перпендикулярны или хотя бы один из них — нулевой.

7. Какой физический смысл имеет скалярное произведение?

В физике скалярное произведение имеет смысл механической работы. Если тело перемещается прямолинейно на вектор $\vec{s}$ под действием постоянной силы $\vec{F}$, то работа $A$, совершаемая этой силой, равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

$A = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cdot \cos(\alpha)$

Здесь $\alpha$ — угол между направлением силы и направлением перемещения. Таким образом, работа равна произведению модуля перемещения на проекцию силы на направление перемещения.

Ответ: Физический смысл скалярного произведения — это работа, совершаемая постоянной силой при прямолинейном перемещении тела.

20.1. Какой знак имеет скалярное произведение векторов, если угол между ними: а) острый; б) тупой?

а) Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\alpha)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними. Поскольку длины ненулевых векторов всегда являются положительными числами ($|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$), знак всего выражения зависит только от знака $\cos(\alpha)$. Если угол $\alpha$ является острым, это означает, что он находится в диапазоне $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$. В этом интервале косинус принимает положительные значения: $\cos(\alpha) > 0$. Таким образом, произведение трех положительных чисел ($|\vec{a}|, |\vec{b}|$ и $\cos(\alpha)$) будет положительным.

Ответ: скалярное произведение имеет положительный знак.

б) Аналогично предыдущему пункту, знак скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\alpha)$ определяется знаком $\cos(\alpha)$. Если угол $\alpha$ является тупым, это означает, что он находится в диапазоне $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$. В этом интервале косинус принимает отрицательные значения: $\cos(\alpha) < 0$. Следовательно, произведение двух положительных величин ($|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$) на отрицательную величину ($\cos(\alpha)$) даст в результате отрицательное число.

Ответ: скалярное произведение имеет отрицательный знак.

20.2. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 20.4) найдите угол между векторами:

а) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$;

б) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$;

в) $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Рис. 20.4

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина A куба совпадает с началом координат (0, 0, 0). Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy вдоль ребра AD, а ось Oz вдоль ребра AA₁. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0), A₁(0, 0, a), B₁(a, 0, a), C₁(a, a, a), D₁(0, a, a).

Угол $\alpha$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ можно найти, используя их скалярное произведение:

$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

а) Найдем угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$.

Сначала определим координаты этих векторов, вычитая из координат конца координаты начала:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (a-0; a-0; 0-0) = (a, a, 0)$

$\vec{B_1D_1} = (x_{D_1} - x_{B_1}; y_{D_1} - y_{B_1}; z_{D_1} - z_{B_1}) = (0-a; a-0; a-a) = (-a, a, 0)$

Теперь найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AC} \cdot \vec{B_1D_1} = a \cdot (-a) + a \cdot a + 0 \cdot 0 = -a^2 + a^2 + 0 = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, а векторы ненулевые, они перпендикулярны. Следовательно, угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б) Найдем угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$.

Определим координаты векторов:

$\vec{AB} = (a-0; 0-0; 0-0) = (a, 0, 0)$

$\vec{B_1C_1} = (a-a; a-0; a-a) = (0, a, 0)$

Найдем их скалярное произведение:

$\vec{AB} \cdot \vec{B_1C_1} = a \cdot 0 + 0 \cdot a + 0 \cdot 0 = 0$

Скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы перпендикулярны. Угол между ними равен $90^\circ$.Также можно заметить, что вектор $\vec{B_1C_1}$ параллелен и сонаправлен вектору $\vec{AD}$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ — это угол между смежными ребрами куба, он равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

в) Найдем угол между векторами $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Определим координаты векторов:

$\vec{AB_1} = (a-0; 0-0; a-0) = (a, 0, a)$

$\vec{BC_1} = (a-a; a-0; a-0) = (0, a, a)$

Найдем их скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = a \cdot 0 + 0 \cdot a + a \cdot a = a^2$

Теперь найдем длины (модули) векторов. Оба вектора являются диагоналями граней куба.

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Вычислим косинус угла $\alpha$ между векторами:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}}{|\vec{AB_1}| \cdot |\vec{BC_1}|} = \frac{a^2}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$

Отсюда, $\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Геометрически: вектор $\vec{BC_1}$ равен вектору $\vec{AD_1}$. Значит, искомый угол равен углу между векторами $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$. Рассмотрим треугольник $\triangle AB_1D_1$. Его стороны $AB_1$, $AD_1$ и $B_1D_1$ являются диагоналями граней куба, и их длины равны $a\sqrt{2}$. Следовательно, $\triangle AB_1D_1$ — равносторонний, и все его углы равны $60^\circ$. Угол между векторами $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$ это $\angle D_1AB_1$, который равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

20.3. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 20.5) найдите угол между векторами:

а) $\overline{AB}$ и $\overline{CC_1}$;

б) $\overline{AB}$ и $\overline{B_1C_1}$.

Рис. 20.5

а) Найдём угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$.

По условию, призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной. Это означает, что её основаниями являются правильные треугольники, а боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, призма является прямой.

Вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости нижнего основания $ABC$. Вектор $\vec{CC_1}$ направлен вдоль бокового ребра $CC_1$.

Так как призма прямая, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $CC_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AB$.

Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $CC_1$ равен $90^\circ$, а значит, и угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б) Найдём угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$.

Для нахождения угла между векторами необходимо совместить их начала путём параллельного переноса.

В призме $ABCA_1B_1C_1$ основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны и равны. Поэтому вектор $\vec{B_1C_1}$ равен вектору $\vec{BC}$ (так как четырёхугольник $BCC_1B_1$ — параллелограмм, а точнее, прямоугольник).

Таким образом, задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, выходящими из одной точки $B$, равен углу $\angle ABC$ в основании. Поскольку основание $ABC$ — правильный треугольник, все его углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle (\vec{BA}, \vec{BC}) = \angle ABC = 60^\circ$.

Вектор $\vec{AB}$ противоположен вектору $\vec{BA}$, то есть $\vec{AB} = -\vec{BA}$. Угол между вектором $\vec{AB}$ и вектором $\vec{BC}$ будет смежным с углом между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

Следовательно, искомый угол равен $180^\circ - \angle (\vec{BA}, \vec{BC}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

20.4. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1 (рис. 20.6). Найдите угол между векторами:
а) $\overline{AB}$ и $\overline{SC}$;
б) $\overline{SB}$ и $\overline{SD}$.

Рис. 20.6

Поскольку $SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида, в ее основании лежит квадрат $ABCD$. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Это означает, что и стороны основания, и боковые ребра равны 1. Следовательно, боковые грани пирамиды (например, $\triangle SAB$, $\triangle SBC$ и т.д.) являются равносторонними треугольниками со стороной 1.

Для нахождения угла между векторами используется формула, основанная на скалярном произведении: $ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$

Для решения задачи введем систему координат. Поместим начало координат в точку $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, а ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$. Ось $Oz$ будет перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

В этой системе координат вершины основания имеют следующие координаты: $A(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $D(0, 1, 0)$ и $C(1, 1, 0)$.

Найдем координаты вершины $S(x, y, z)$. Так как пирамида правильная, вершина $S$ проецируется в центр основания — точку пересечения диагоналей квадрата. Координаты этой точки — $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$. Следовательно, $x_S = \frac{1}{2}$ и $y_S = \frac{1}{2}$.

Для нахождения аппликаты $z_S$ воспользуемся тем, что длина бокового ребра $|SA|$ равна 1:

$|SA|^2 = (x_S - x_A)^2 + (y_S - y_A)^2 + (z_S - z_A)^2 = 1^2$

$(\frac{1}{2} - 0)^2 + (\frac{1}{2} - 0)^2 + (z_S - 0)^2 = 1$

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + z_S^2 = 1$

$\frac{1}{2} + z_S^2 = 1 \implies z_S^2 = \frac{1}{2} \implies z_S = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (берем положительное значение, так как вершина S находится над основанием).

Таким образом, координаты вершины $S(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Теперь найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (1 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (1, 0, 0)$.

$\vec{SC} = (x_C - x_S, y_C - y_S, z_C - z_S) = (1 - \frac{1}{2}, 1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Найдем длины (модули) этих векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.

$|\vec{SC}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = 1$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{SC} = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем косинус угла $\alpha$ между векторами:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{SC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{SC}|} = \frac{\frac{1}{2}}{1 \cdot 1} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, угол $\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

б) $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$

Угол между векторами $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$ — это угол $\angle BSD$ в треугольнике $BSD$. Найдем стороны этого треугольника.

$SB$ и $SD$ — боковые ребра пирамиды, по условию их длины равны 1. Таким образом, $|SB| = 1$ и $|SD| = 1$.

$BD$ — это диагональ квадрата $ABCD$ со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABD$ ($\angle A = 90^\circ$):

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.

Отсюда $BD = \sqrt{2}$.

Рассмотрим треугольник $BSD$. Мы знаем длины всех его сторон: $SB=1$, $SD=1$, $BD=\sqrt{2}$. Он является равнобедренным.

Для нахождения угла $\beta = \angle BSD$ применим теорему косинусов:

$BD^2 = SB^2 + SD^2 - 2 \cdot SB \cdot SD \cdot \cos\beta$

$(\sqrt{2})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos\beta$

$2 = 1 + 1 - 2\cos\beta$

$2 = 2 - 2\cos\beta$

$2\cos\beta = 0 \implies \cos\beta = 0$.

Следовательно, угол $\beta = \arccos(0) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

20.5. В правильной шестиугольной

пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 20.7). Найдите

угол между векторами:

а) $\overline{SA}$ и $\overline{SD}$;

б) $\overline{SA}$ и $\overline{BC}$.

Рис. 20.7

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ все стороны основания $ABCDEF$ равны 1, а все боковые ребра равны 2. Основанием является правильный шестиугольник.

а)

Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$ — это угол $\angle ASD$ в треугольнике $\triangle ASD$, так как векторы исходят из одной точки $S$. Найдем стороны этого треугольника.

Стороны $SA$ и $SD$ являются боковыми ребрами пирамиды, поэтому по условию их длины равны 2:

$|\vec{SA}| = SA = 2$

$|\vec{SD}| = SD = 2$

Сторона $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника в два раза больше длины его стороны. Так как сторона основания равна 1, то длина диагонали $AD$ равна $2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, треугольник $\triangle ASD$ имеет стороны $SA=2$, $SD=2$ и $AD=2$. Следовательно, $\triangle ASD$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$. Значит, угол $\angle ASD = 60^{\circ}$.

В качестве альтернативы можно использовать теорему косинусов для треугольника $\triangle ASD$:

$AD^2 = SA^2 + SD^2 - 2 \cdot SA \cdot SD \cdot \cos(\angle ASD)$

$2^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(\angle ASD)$

$4 = 4 + 4 - 8 \cos(\angle ASD)$

$4 = 8 - 8 \cos(\angle ASD)$

$8 \cos(\angle ASD) = 4$

$\cos(\angle ASD) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$\angle ASD = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ}$

Ответ: $60^{\circ}$.

б)

Чтобы найти угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$, нужно отложить их от одной точки. Воспользуемся свойством правильного шестиугольника. Пусть $O$ — центр основания $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике вектор, соединяющий две соседние вершины, равен вектору, проведенному из центра к противолежащей вершине, т.е. $\vec{BC} = \vec{AO}$.

Таким образом, угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$ равен углу между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{AO}$.

Угол между векторами $\vec{AS}$ и $\vec{AO}$ — это угол $\angle SAO$ в треугольнике $\triangle SAO$. Вектор $\vec{SA}$ противоположен вектору $\vec{AS}$, поэтому искомый угол равен $180^{\circ} - \angle SAO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SAO$. Так как пирамида правильная, ее высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и отрезку $AO$. Следовательно, $\triangle SAO$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $O$.

В этом треугольнике:

• $SA$ — гипотенуза, ее длина равна длине бокового ребра, $SA = 2$.

• $AO$ — катет, его длина равна радиусу описанной окружности для правильного шестиугольника, что равно стороне шестиугольника, т.е. $AO = 1$.

Найдем косинус угла $\angle SAO$:

$\cos(\angle SAO) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AO}{SA} = \frac{1}{2}$

Отсюда $\angle SAO = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ}$.

Угол между вектором $\vec{SA}$ (направлен от $S$ к $A$) и вектором $\vec{AO}$ (направлен от $A$ к $O$) равен $180^{\circ}$ минус угол между вектором $\vec{AS}$ (направлен от $A$ к $S$) и вектором $\vec{AO}$.

Искомый угол равен $180^{\circ} - \angle SAO = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Ответ: $120^{\circ}$.