Страница 109 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.13. Повторите формулу расстояния между точками на координатной плоскости.

21.13. Формула расстояния между двумя точками на координатной плоскости выводится из теоремы Пифагора.

Пусть на плоскости заданы две точки: точка A с координатами $(x_1, y_1)$ и точка B с координатами $(x_2, y_2)$. Расстояние между этими точками, которое мы обозначим как $d$, — это длина отрезка AB.

Для нахождения этой длины можно мысленно построить прямоугольный треугольник, в котором отрезок AB является гипотенузой, а катеты параллельны осям координат. Вершины этого треугольника будут в точках A$(x_1, y_1)$, B$(x_2, y_2)$ и C$(x_2, y_1)$.

Длина катета AC, параллельного оси абсцисс Ox, равна модулю разности x-координат: $|x_2 - x_1|$.
Длина катета BC, параллельного оси ординат Oy, равна модулю разности y-координат: $|y_2 - y_1|$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $d^2 = AC^2 + BC^2$.

Подставим длины катетов в эту формулу:
$d^2 = (|x_2 - x_1|)^2 + (|y_2 - y_1|)^2$
Поскольку квадрат числа и квадрат его модуля равны, знаки модуля можно опустить:
$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Чтобы найти само расстояние $d$, извлечем квадратный корень из обеих частей равенства. Так как расстояние является неотрицательной величиной, мы берем арифметический (положительный) корень.

В итоге, формула расстояния $d$ между точками A$(x_1, y_1)$ и B$(x_2, y_2)$ на координатной плоскости имеет вид:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Эта формула означает, что расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей их соответствующих координат.

Ответ: Формула расстояния $d$ между двумя точками A с координатами $(x_1, y_1)$ и B с координатами $(x_2, y_2)$ на координатной плоскости: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

21.14. По аналогии с формулой расстояния между точками на координатной плоскости попробуйте написать формулу расстояния между точками $A_1(x_1; y_1; z_1)$, $A_2(x_2; y_2; z_2)$ в координатном пространстве.

Для вывода формулы расстояния между точками в координатном пространстве воспользуемся аналогией с формулой для расстояния на координатной плоскости. Сначала вспомним, как вычисляется расстояние в двумерном случае. Расстояние $d$ между двумя точками $M_1(x_1; y_1)$ и $M_2(x_2; y_2)$ на плоскости определяется по теореме Пифагора и равно квадратному корню из суммы квадратов разностей их соответствующих координат: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Теперь рассмотрим две точки в трехмерном координатном пространстве: $A_1(x_1; y_1; z_1)$ и $A_2(x_2; y_2; z_2)$. Отрезок $A_1A_2$, расстояние между которыми мы ищем, можно рассматривать как диагональ прямоугольного параллелепипеда. Ребра этого параллелепипеда параллельны координатным осям, а их длины равны $|x_2 - x_1|$, $|y_2 - y_1|$ и $|z_2 - z_1|$.

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его измерений. Это утверждение является обобщением теоремы Пифагора на трехмерное пространство. Таким образом, квадрат расстояния $d^2$ между точками $A_1$ и $A_2$ равен сумме квадратов разностей их соответствующих координат:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей этого равенства, получаем искомую формулу. По аналогии с двумерным случаем, к выражению под корнем просто добавляется квадрат разности по третьей координате, $z$.

Ответ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$