Страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 20.8). Найдите угол между векторами:

а) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$;

б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$;

в) $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$;

г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$;

д) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1C_1}$;

е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$;

ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$.

Рис. 20.8

а) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{AA_1} = A_1 - A = (1-1, 0-0, 1-0) = (0, 0, 1)$.
$\vec{BC_1} = C_1 - B = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (-1, 0, 1)$.
Найдем длины векторов:
$|\vec{AA_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.
$|\vec{BC_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{AA_1} \cdot \vec{BC_1} = 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$.
Найдем косинус угла $\alpha$ между векторами:
$\cos\alpha = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, угол $\alpha = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$
Координаты вектора $\vec{AA_1} = (0, 0, 1)$ и его длина $|\vec{AA_1}| = 1$ найдены в предыдущем пункте.
Найдем координаты вектора $\vec{DE_1}$:
$\vec{DE_1} = E_1 - D = (-\frac{1}{2}-(-1), -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
Найдем длину вектора $\vec{DE_1}$:
$|\vec{DE_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{2}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{AA_1} \cdot \vec{DE_1} = 0 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1 \cdot 1 = 1$.
Найдем косинус угла $\alpha$ между векторами:
$\cos\alpha = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, угол $\alpha = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

в) $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{AB} = B - A = (\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
$\vec{BC_1} = (-1, 0, 1)$ (из пункта а).
Найдем длины векторов:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$.
$|\vec{BC_1}| = \sqrt{2}$ (из пункта а).
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{AB} \cdot \vec{BC_1} = (-\frac{1}{2}) \cdot (-1) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Найдем косинус угла $\alpha$ между векторами:
$\cos\alpha = \frac{1/2}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Следовательно, угол $\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{4})$.
Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{4})$.

г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$
Вектор $\vec{C_1D_1}$ параллелен вектору $\vec{CD}$, так как $C_1D_1DC$ - параллелограмм (в данном случае, квадрат). Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$ равен углу между сторонами основания $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.
Найдем координаты векторов:
$\vec{AB} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ (из пункта в).
$\vec{C_1D_1} = D_1 - C_1 = (-1-(-\frac{1}{2}), 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-1) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Длины этих векторов равны 1 (как ребра призмы).
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{AB} \cdot \vec{C_1D_1} = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Найдем косинус угла $\alpha$:
$\cos\alpha = \frac{-1/2}{1 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$.
Следовательно, угол $\alpha = 120^\circ$.
Ответ: $120^\circ$.

д) $\vec{AC}$ и $\vec{BC_1}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{AC} = C - A = (-\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
$\vec{BC_1} = (-1, 0, 1)$ (из пункта а).
Найдем длины векторов:
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$.
$|\vec{BC_1}| = \sqrt{2}$ (из пункта а).
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{AC} \cdot \vec{BC_1} = (-\frac{3}{2}) \cdot (-1) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 = \frac{3}{2}$.
Найдем косинус угла $\alpha$:
$\cos\alpha = \frac{3/2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.
Следовательно, угол $\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{6}}{4})$.
Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{6}}{4})$.

е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$
Вектор $\vec{B_1D_1}$ параллелен вектору $\vec{BD}$. Угол между $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$ равен углу между диагоналями основания $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.
Координаты вектора $\vec{AC} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и его длина $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$ найдены в пункте д.
Найдем координаты вектора $\vec{B_1D_1}$:
$\vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (-1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-1) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Найдем длину вектора $\vec{B_1D_1}$:
$|\vec{B_1D_1}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$.
Найдем скалярное произведение:
$\vec{AC} \cdot \vec{B_1D_1} = (-\frac{3}{2}) \cdot (-\frac{3}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
Найдем косинус угла $\alpha$:
$\cos\alpha = \frac{3/2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, угол $\alpha = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$
Вектор $\vec{B_1E_1}$ параллелен вектору $\vec{BE}$. Угол между $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$ равен углу между диагоналями основания $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$.
Координаты вектора $\vec{AC} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и его длина $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$ найдены в пункте д.
Найдем координаты вектора $\vec{B_1E_1}$:
$\vec{B_1E_1} = E_1 - B_1 = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-1) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.
Найдем длину вектора $\vec{B_1E_1}$:
$|\vec{B_1E_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
Найдем скалярное произведение:
$\vec{AC} \cdot \vec{B_1E_1} = (-\frac{3}{2}) \cdot (-1) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.
Угол $\alpha = 90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

20.7. Для единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 20.4) найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1 D_1}$;

б) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1 C_1}$;

в) $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Рис. 20.4

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A$ и направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $\overrightarrow{AB}$, ось $Oy$ вдоль $\overrightarrow{AD}$ и ось $Oz$ вдоль $\overrightarrow{AA_1}$. Так как куб единичный, то длина его ребра равна 1. Координаты вершин куба будут следующими:

$A(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $C(1, 1, 0)$, $D(0, 1, 0)$, $A_1(0, 0, 1)$, $B_1(1, 0, 1)$, $C_1(1, 1, 1)$, $D_1(0, 1, 1)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=\{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{v}=\{x_2, y_2, z_2\}$ вычисляется по формуле: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

а) Найдем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{B_1D_1}$.

Сначала определим координаты этих векторов. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Координаты вектора $\overrightarrow{AC}$ с началом в $A(0, 0, 0)$ и концом в $C(1, 1, 0)$: $\overrightarrow{AC} = \{1-0; 1-0; 0-0\} = \{1; 1; 0\}$.

Координаты вектора $\overrightarrow{B_1D_1}$ с началом в $B_1(1, 0, 1)$ и концом в $D_1(0, 1, 1)$: $\overrightarrow{B_1D_1} = \{0-1; 1-0; 1-1\} = \{-1; 1; 0\}$.

Теперь вычислим их скалярное произведение:

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{B_1D_1} = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = -1 + 1 + 0 = 0$.

Ответ: 0.

б) Найдем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{B_1C_1}$.

Определим координаты векторов:

Координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ с началом в $A(0, 0, 0)$ и концом в $B(1, 0, 0)$: $\overrightarrow{AB} = \{1-0; 0-0; 0-0\} = \{1; 0; 0\}$.

Координаты вектора $\overrightarrow{B_1C_1}$ с началом в $B_1(1, 0, 1)$ и концом в $C_1(1, 1, 1)$: $\overrightarrow{B_1C_1} = \{1-1; 1-0; 1-1\} = \{0; 1; 0\}$.

Вычислим скалярное произведение:

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{B_1C_1} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0.

в) Найдем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB_1}$ и $\overrightarrow{BC_1}$.

Определим координаты векторов:

Координаты вектора $\overrightarrow{AB_1}$ с началом в $A(0, 0, 0)$ и концом в $B_1(1, 0, 1)$: $\overrightarrow{AB_1} = \{1-0; 0-0; 1-0\} = \{1; 0; 1\}$.

Координаты вектора $\overrightarrow{BC_1}$ с началом в $B(1, 0, 0)$ и концом в $C_1(1, 1, 1)$: $\overrightarrow{BC_1} = \{1-1; 1-0; 1-0\} = \{0; 1; 1\}$.

Вычислим скалярное произведение:

$\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{BC_1} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1.

20.8. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 20.5). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$;

б) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$.

Рис. 20.5

По условию задачи, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основаниях лежат равносторонние треугольники со стороной 1, а боковые ребра, перпендикулярные основаниям, также равны 1.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

а) Найти скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$

1. Найдем длины векторов. По условию, все ребра призмы равны 1, следовательно, длина ребра $AB$ равна 1 и длина ребра $CC_1$ равна 1. Таким образом, $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{CC_1}| = 1$.

2. Найдем угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$. Призма $ABCA_1B_1C_1$ — правильная, значит, она прямая. Это означает, что боковые ребра (включая $CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований (включая плоскость $ABC$). Вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости основания $ABC$. Следовательно, вектор $\vec{CC_1}$ перпендикулярен вектору $\vec{AB}$. Угол $\alpha$ между ними равен $90^\circ$.

3. Вычислим скалярное произведение: $\vec{AB} \cdot \vec{CC_1} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CC_1}| \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

б) Найти скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$

1. Найдем длины векторов. По условию, все ребра равны 1. Значит, $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{B_1C_1}| = 1$.

2. Найдем угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$. В призме основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны и одинаково ориентированы. Поэтому вектор $\vec{B_1C_1}$ равен вектору $\vec{BC}$ (они сонаправлены и имеют одинаковую длину). Таким образом, задача сводится к нахождению скалярного произведения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

3. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ — это внешний угол при вершине $B$ треугольника $ABC$. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник, поэтому внутренний угол $\angle ABC = 60^\circ$. Чтобы найти угол между векторами, их нужно отложить от одной точки. Если мы отложим от точки $B$ вектор, равный $\vec{AB}$, то он будет направлен в противоположную сторону вектору $\vec{BA}$. Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ равен $60^\circ$. Угол между вектором $\vec{AB}$ и вектором $\vec{BC}$ будет равен $180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

4. Вычислим скалярное произведение: $\vec{AB} \cdot \vec{B_1C_1} = \vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(120^\circ)$. Так как $|\vec{AB}| = 1$, $|\vec{BC}| = 1$ и $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем: $\vec{AB} \cdot \vec{B_1C_1} = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: -0.5

20.9. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1 (рис. 20.6). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $ \vec{AB} $ и $ \vec{SC} $;

б) $ \vec{SB} $ и $ \vec{SD} $.

Рис. 20.6

а) Для нахождения скалярного произведения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$ воспользуемся методом разложения векторов. Разложим вектор $\vec{AB}$ по правилу треугольника через векторы, исходящие из вершины $S$: $\vec{AB} = \vec{SB} - \vec{SA}$.

Тогда искомое скалярное произведение можно записать как:
$\vec{AB} \cdot \vec{SC} = (\vec{SB} - \vec{SA}) \cdot \vec{SC} = \vec{SB} \cdot \vec{SC} - \vec{SA} \cdot \vec{SC}$.

Теперь найдем каждое скалярное произведение по отдельности, используя формулу $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\alpha$.

1. Найдем $\vec{SB} \cdot \vec{SC}$.
По условию, все ребра пирамиды равны 1. Следовательно, боковая грань $SBC$ является равносторонним треугольником со стороной 1. Угол между векторами $\vec{SB}$ и $\vec{SC}$ равен углу $\angle BSC$ в этом треугольнике, то есть $\angle BSC = 60^\circ$.
Длины векторов (модули) равны длине ребра: $|\vec{SB}| = 1$ и $|\vec{SC}| = 1$.
$\vec{SB} \cdot \vec{SC} = |\vec{SB}| |\vec{SC}| \cos(\angle BSC) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

2. Найдем $\vec{SA} \cdot \vec{SC}$.
Рассмотрим треугольник $SAC$. Его стороны $SA$ и $SC$ являются боковыми ребрами, поэтому $SA = 1$ и $SC = 1$. Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ в основании. Длина диагонали квадрата со стороной 1 равна $AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Применим к треугольнику $SAC$ теорему косинусов, чтобы найти угол $\angle ASC$ между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{SC}$:
$AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2 \cdot SA \cdot SC \cdot \cos(\angle ASC)$
$(\sqrt{2})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\angle ASC)$
$2 = 1 + 1 - 2\cos(\angle ASC)$
$2 = 2 - 2\cos(\angle ASC)$
$2\cos(\angle ASC) = 0$, следовательно, $\cos(\angle ASC) = 0$. Это означает, что $\angle ASC = 90^\circ$.
Теперь найдем скалярное произведение:
$\vec{SA} \cdot \vec{SC} = |\vec{SA}| |\vec{SC}| \cos(\angle ASC) = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$.

3. Подставим найденные значения в исходное выражение:
$\vec{AB} \cdot \vec{SC} = \vec{SB} \cdot \vec{SC} - \vec{SA} \cdot \vec{SC} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Для нахождения скалярного произведения векторов $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$ воспользуемся определением: $\vec{SB} \cdot \vec{SD} = |\vec{SB}| |\vec{SD}| \cos(\angle BSD)$.

По условию, длины боковых ребер равны 1, значит $|\vec{SB}| = 1$ и $|\vec{SD}| = 1$.
Чтобы найти скалярное произведение, нам нужно определить угол $\angle BSD$ между векторами.

Рассмотрим треугольник $SBD$. Его стороны $SB$ и $SD$ - это боковые ребра пирамиды, их длины равны 1. Сторона $BD$ - это диагональ квадрата $ABCD$ в основании. Длина этой диагонали такая же, как у диагонали $AC$, то есть $BD = \sqrt{2}$.

Итак, мы имеем треугольник $SBD$ со сторонами $SB=1$, $SD=1$ и $BD=\sqrt{2}$.
Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:
$SB^2 + SD^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.
$BD^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Поскольку $SB^2 + SD^2 = BD^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $SBD$ является прямоугольным, причем прямой угол находится напротив самой длинной стороны (гипотенузы $BD$), то есть $\angle BSD = 90^\circ$.

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение:
$\vec{SB} \cdot \vec{SD} = |\vec{SB}| |\vec{SD}| \cos(90^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$.

20.10. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 20.7). Найдите скалярное произведение векторов:
а) $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$;
б) $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$.

Рис. 20.7

а) Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами. В данном случае нам нужно найти скалярное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$. Длины этих векторов равны длинам боковых ребер пирамиды: $|\vec{SA}| = 2$ и $|\vec{SD}| = 2$. Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$ — это угол $\angle ASD$. Чтобы найти этот угол, рассмотрим треугольник $\triangle ASD$. Его стороны — это боковые ребра $SA$ и $SD$, и диагональ основания $AD$. Основание пирамиды — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1. Большая диагональ правильного шестиугольника (например, $AD$) в два раза больше его стороны. Таким образом, $AD = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$. Получаем, что треугольник $\triangle ASD$ имеет стороны $SA=2$, $SD=2$ и $AD=2$. Следовательно, $\triangle ASD$ — равносторонний, и все его углы равны $60^\circ$. Таким образом, угол $\angle ASD = 60^\circ$. Теперь можем вычислить скалярное произведение: $\vec{SA} \cdot \vec{SD} = |\vec{SA}| \cdot |\vec{SD}| \cdot \cos(\angle ASD) = 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.
Ответ: 2

б) Для нахождения скалярного произведения векторов $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$ представим вектор $\vec{BC}$ как разность векторов, выходящих из вершины $S$: $\vec{BC} = \vec{SC} - \vec{SB}$. Тогда искомое скалярное произведение равно: $\vec{SA} \cdot \vec{BC} = \vec{SA} \cdot (\vec{SC} - \vec{SB}) = \vec{SA} \cdot \vec{SC} - \vec{SA} \cdot \vec{SB}$. Найдем каждое из скалярных произведений в правой части по отдельности.
1. Найдем $\vec{SA} \cdot \vec{SB}$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle ASB$ со сторонами $SA=2$, $SB=2$ и $AB=1$. По теореме косинусов для угла $\angle ASB$: $AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2 \cdot SA \cdot SB \cdot \cos(\angle ASB)$ $1^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(\angle ASB)$ $1 = 8 - 8 \cos(\angle ASB)$ $8 \cos(\angle ASB) = 7 \implies \cos(\angle ASB) = \frac{7}{8}$. Тогда скалярное произведение: $\vec{SA} \cdot \vec{SB} = |\vec{SA}| \cdot |\vec{SB}| \cdot \cos(\angle ASB) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{2}$.
2. Найдем $\vec{SA} \cdot \vec{SC}$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle ASC$ со сторонами $SA=2$ и $SC=2$. Найдем длину стороны $AC$. В основании лежит правильный шестиугольник, внутренний угол которого равен $120^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$ в основании. По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$ $AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$. Отсюда $AC = \sqrt{3}$. Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle ASC$ для угла $\angle ASC$: $AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2 \cdot SA \cdot SC \cdot \cos(\angle ASC)$ $(\sqrt{3})^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(\angle ASC)$ $3 = 8 - 8 \cos(\angle ASC)$ $8 \cos(\angle ASC) = 5 \implies \cos(\angle ASC) = \frac{5}{8}$. Тогда скалярное произведение: $\vec{SA} \cdot \vec{SC} = |\vec{SA}| \cdot |\vec{SC}| \cdot \cos(\angle ASC) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{2}$.
3. Вычислим итоговое значение: $\vec{SA} \cdot \vec{BC} = \vec{SA} \cdot \vec{SC} - \vec{SA} \cdot \vec{SB} = \frac{5}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{2}{2} = -1$.
Ответ: -1

20.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 20.8). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$;

б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$;

в) $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$;

г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$;

д) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1C_1}$;

е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$;

ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$.

Рис. 20.8

В основе правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Все ребра призмы равны 1. Это означает, что сторона основания равна 1, и высота призмы (длина боковых ребер, таких как $AA_1$) также равна 1.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно найти по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами. Также будем использовать свойства скалярного произведения и разложение векторов.

Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Угол между векторами смежных сторон, например $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

а) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$

Разложим вектор $\vec{BC_1}$ на сумму двух векторов: $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$.

Тогда скалярное произведение равно: $\vec{AA_1} \cdot \vec{BC_1} = \vec{AA_1} \cdot (\vec{BC} + \vec{CC_1}) = \vec{AA_1} \cdot \vec{BC} + \vec{AA_1} \cdot \vec{CC_1}$.

Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания. Вектор $\vec{BC}$ лежит в плоскости основания, следовательно, $\vec{AA_1} \perp \vec{BC}$, и их скалярное произведение равно 0.

Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{CC_1}$ равны, так как это боковые ребра прямой призмы. Таким образом, $\vec{AA_1} = \vec{CC_1}$. Их длины равны 1.

$\vec{AA_1} \cdot \vec{CC_1} = \vec{AA_1} \cdot \vec{AA_1} = |\vec{AA_1}|^2 = 1^2 = 1$.

Итого, $\vec{AA_1} \cdot \vec{BC_1} = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1.

б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$

Решение аналогично пункту а). Разложим вектор $\vec{DE_1}$ на сумму: $\vec{DE_1} = \vec{DE} + \vec{EE_1}$.

$\vec{AA_1} \cdot \vec{DE_1} = \vec{AA_1} \cdot (\vec{DE} + \vec{EE_1}) = \vec{AA_1} \cdot \vec{DE} + \vec{AA_1} \cdot \vec{EE_1}$.

Вектор $\vec{AA_1}$ перпендикулярен вектору $\vec{DE}$ (так как $\vec{DE}$ лежит в основании), поэтому $\vec{AA_1} \cdot \vec{DE} = 0$.

Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{EE_1}$ равны и их длины равны 1. Поэтому $\vec{AA_1} \cdot \vec{EE_1} = |\vec{AA_1}|^2 = 1^2 = 1$.

В результате получаем $\vec{AA_1} \cdot \vec{DE_1} = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1.

в) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$

Так как основания призмы параллельны и равны, вектор $\vec{B_1C_1}$ равен вектору $\vec{BC}$.

Таким образом, нам нужно найти $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$.

Длины векторов $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{BC}| = 1$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ — это внешний угол при вершине B правильного шестиугольника, который равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| |\vec{BC}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$

Аналогично предыдущему пункту, $\vec{C_1D_1} = \vec{CD}$. Ищем скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$.

В правильном шестиугольнике сторона $CD$ параллельна диагонали $AF$ и сонаправлена с вектором $\vec{AF}$. Таким образом, $\vec{CD} = \vec{AF}$.

Следовательно, $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{AB} \cdot \vec{AF}$.

Длины векторов $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{AF}| = 1$. Угол между ними — это внутренний угол шестиугольника $\angle FAB = 120^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AF} = |\vec{AB}| |\vec{AF}| \cos(120^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

д) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1C_1}$

Заменяем $\vec{B_1C_1}$ на $\vec{BC}$. Ищем $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$.

Разложим вектор $\vec{AC}$ по правилу треугольника: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot \vec{BC} = \vec{AB} \cdot \vec{BC} + \vec{BC} \cdot \vec{BC} = \vec{AB} \cdot \vec{BC} + |\vec{BC}|^2$.

Из пункта в) мы знаем, что $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}$.

Длина ребра $|\vec{BC}| = 1$, поэтому $|\vec{BC}|^2 = 1^2 = 1$.

$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$

Заменяем $\vec{B_1D_1}$ на $\vec{BD}$. Ищем $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$.

Разложим оба вектора по сторонам шестиугольника: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ и $\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$.

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{BC} + \vec{CD}) = \vec{AB}\cdot\vec{BC} + \vec{AB}\cdot\vec{CD} + \vec{BC}\cdot\vec{BC} + \vec{BC}\cdot\vec{CD}$.

Посчитаем каждое слагаемое:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}$ (из пункта в).

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = -\frac{1}{2}$ (из пункта г).

$|\vec{BC}|^2 = 1^2 = 1$.

$\vec{BC} \cdot \vec{CD}$: Угол между векторами смежных сторон $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$ равен $60^\circ$. $\vec{BC} \cdot \vec{CD} = |\vec{BC}||\vec{CD}|\cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Суммируем: $\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) + 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$

Заменяем $\vec{B_1E_1}$ на $\vec{BE}$. Ищем $\vec{AC} \cdot \vec{BE}$.

Воспользуемся методом координат, поместив центр основания O в начало координат (0,0). Пусть вершина A имеет координаты $(1, 0)$. Тогда, т.к. сторона шестиугольника равна 1, координаты других вершин будут:

$A=(1, 0, 0)$, $B=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C=(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $E=(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Найдём координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$:

$\vec{AC} = C - A = (-\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

$\vec{BE} = E - B = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.

Теперь вычислим их скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{BE} = (-\frac{3}{2}) \cdot (-1) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 0 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$ перпендикулярны.

Ответ: 0.

20.12. Повторите понятие прямоугольной системы координат на плоскости.

Определение прямоугольной системы координат

Прямоугольная, или декартова, система координат на плоскости — это способ однозначного определения положения точки на плоскости с помощью пары чисел, называемых координатами. Эта система задается двумя взаимно перпендикулярными числовыми осями, которые пересекаются в точке, являющейся началом отсчета для обеих осей.

Элементы системы координат

Основные элементы системы:
1. Координатные оси:
Это две перпендикулярные прямые с выбранным направлением и единицей измерения.
• Ось абсцисс (ось $Ox$): как правило, горизонтальная числовая ось. Положительное направление обычно направлено вправо.
• Ось ординат (ось $Oy$): как правило, вертикальная числовая ось. Положительное направление обычно направлено вверх.
Оси пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

2. Начало координат:
Точка пересечения осей $Ox$ и $Oy$ называется началом координат. Она обозначается буквой $O$ и имеет координаты $(0; 0)$.

3. Координатные четверти (квадранты):
Координатные оси делят плоскость на четыре области, называемые координатными четвертями или квадрантами. Их нумеруют против часовой стрелки, начиная с верхней правой:
• I четверть: область, где $x > 0$ и $y > 0$.
• II четверть: область, где $x < 0$ и $y > 0$.
• III четверть: область, где $x < 0$ и $y < 0$.
• IV четверть: область, где $x > 0$ и $y < 0$.
Точки, лежащие на осях, не принадлежат ни одной из четвертей.

Координаты точки

Положение любой точки $M$ на плоскости определяется упорядоченной парой чисел $(x; y)$, которые называются ее координатами.
• Абсцисса ($x$) — это координата точки на оси $Ox$. Чтобы ее найти, нужно из точки $M$ опустить перпендикуляр на ось $Ox$. Координата основания этого перпендикуляра и есть абсцисса точки $M$.
• Ордината ($y$) — это координата точки на оси $Oy$. Чтобы ее найти, нужно из точки $M$ опустить перпендикуляр на ось $Oy$. Координата основания этого перпендикуляра и есть ордината точки $M$.
Координаты точки принято записывать в скобках, например, $M(x; y)$. Первой всегда указывается абсцисса, второй — ордината.

Значение и применение

Прямоугольная система координат является фундаментальным инструментом в математике и науке. Она позволяет:
• Установить связь между геометрией и алгеброй (основная идея аналитической геометрии).
• Задавать геометрические фигуры (прямые, окружности, параболы и др.) с помощью уравнений.
• Строить графики функций для визуализации зависимостей между величинами.

Ответ: Прямоугольная система координат на плоскости — это система, образованная двумя взаимно перпендикулярными числовыми осями (осью абсцисс $Ox$ и осью ординат $Oy$), которые пересекаются в начале координат $O(0; 0)$. Положение любой точки $M$ на плоскости однозначно определяется парой чисел $(x; y)$, называемых ее координатами (где $x$ — абсцисса, а $y$ — ордината). Эта система позволяет описывать геометрические объекты алгебраическими уравнениями и является основой аналитической геометрии и математического анализа.