Номер 20.10, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.10. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 20.7). Найдите скалярное произведение векторов:
а) $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$;
б) $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$.

Рис. 20.7

а) Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами. В данном случае нам нужно найти скалярное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$. Длины этих векторов равны длинам боковых ребер пирамиды: $|\vec{SA}| = 2$ и $|\vec{SD}| = 2$. Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$ — это угол $\angle ASD$. Чтобы найти этот угол, рассмотрим треугольник $\triangle ASD$. Его стороны — это боковые ребра $SA$ и $SD$, и диагональ основания $AD$. Основание пирамиды — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1. Большая диагональ правильного шестиугольника (например, $AD$) в два раза больше его стороны. Таким образом, $AD = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$. Получаем, что треугольник $\triangle ASD$ имеет стороны $SA=2$, $SD=2$ и $AD=2$. Следовательно, $\triangle ASD$ — равносторонний, и все его углы равны $60^\circ$. Таким образом, угол $\angle ASD = 60^\circ$. Теперь можем вычислить скалярное произведение: $\vec{SA} \cdot \vec{SD} = |\vec{SA}| \cdot |\vec{SD}| \cdot \cos(\angle ASD) = 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.
Ответ: 2

б) Для нахождения скалярного произведения векторов $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$ представим вектор $\vec{BC}$ как разность векторов, выходящих из вершины $S$: $\vec{BC} = \vec{SC} - \vec{SB}$. Тогда искомое скалярное произведение равно: $\vec{SA} \cdot \vec{BC} = \vec{SA} \cdot (\vec{SC} - \vec{SB}) = \vec{SA} \cdot \vec{SC} - \vec{SA} \cdot \vec{SB}$. Найдем каждое из скалярных произведений в правой части по отдельности.
1. Найдем $\vec{SA} \cdot \vec{SB}$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle ASB$ со сторонами $SA=2$, $SB=2$ и $AB=1$. По теореме косинусов для угла $\angle ASB$: $AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2 \cdot SA \cdot SB \cdot \cos(\angle ASB)$ $1^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(\angle ASB)$ $1 = 8 - 8 \cos(\angle ASB)$ $8 \cos(\angle ASB) = 7 \implies \cos(\angle ASB) = \frac{7}{8}$. Тогда скалярное произведение: $\vec{SA} \cdot \vec{SB} = |\vec{SA}| \cdot |\vec{SB}| \cdot \cos(\angle ASB) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{2}$.
2. Найдем $\vec{SA} \cdot \vec{SC}$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle ASC$ со сторонами $SA=2$ и $SC=2$. Найдем длину стороны $AC$. В основании лежит правильный шестиугольник, внутренний угол которого равен $120^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$ в основании. По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$ $AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$. Отсюда $AC = \sqrt{3}$. Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle ASC$ для угла $\angle ASC$: $AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2 \cdot SA \cdot SC \cdot \cos(\angle ASC)$ $(\sqrt{3})^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(\angle ASC)$ $3 = 8 - 8 \cos(\angle ASC)$ $8 \cos(\angle ASC) = 5 \implies \cos(\angle ASC) = \frac{5}{8}$. Тогда скалярное произведение: $\vec{SA} \cdot \vec{SC} = |\vec{SA}| \cdot |\vec{SC}| \cdot \cos(\angle ASC) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{2}$.
3. Вычислим итоговое значение: $\vec{SA} \cdot \vec{BC} = \vec{SA} \cdot \vec{SC} - \vec{SA} \cdot \vec{SB} = \frac{5}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{2}{2} = -1$.
Ответ: -1