Номер 21.2, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.2. Найдите координаты ортогональных проекций точек $A(1; 3; 4)$ и $B(5; -6; 2)$ на плоскость:

а) $Oxy$;

б) $Oxz$;

в) $Oyz$.

Ортогональная проекция точки на координатную плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. При проецировании точки на одну из координатных плоскостей, координата, соответствующая оси, перпендикулярной этой плоскости, становится равной нулю, а две другие координаты остаются без изменений.

a) Найдем проекции точек $A(1; 3; 4)$ и $B(5; -6; 2)$ на плоскость $Oxy$.
Плоскость $Oxy$ задается уравнением $z = 0$. Ось $Oz$ перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, для нахождения ортогональной проекции любой точки на плоскость $Oxy$, необходимо ее координату $z$ приравнять к нулю, а координаты $x$ и $y$ оставить без изменений.
Для точки $A(1; 3; 4)$ ее проекция $A_{xy}$ на плоскость $Oxy$ будет иметь координаты $(1; 3; 0)$.
Для точки $B(5; -6; 2)$ ее проекция $B_{xy}$ на плоскость $Oxy$ будет иметь координаты $(5; -6; 0)$.
Ответ: $A_{xy}(1; 3; 0)$ и $B_{xy}(5; -6; 0)$.

б) Найдем проекции точек $A(1; 3; 4)$ и $B(5; -6; 2)$ на плоскость $Oxz$.
Плоскость $Oxz$ задается уравнением $y = 0$. Ось $Oy$ перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, для нахождения ортогональной проекции любой точки на плоскость $Oxz$, необходимо ее координату $y$ приравнять к нулю, а координаты $x$ и $z$ оставить без изменений.
Для точки $A(1; 3; 4)$ ее проекция $A_{xz}$ на плоскость $Oxz$ будет иметь координаты $(1; 0; 4)$.
Для точки $B(5; -6; 2)$ ее проекция $B_{xz}$ на плоскость $Oxz$ будет иметь координаты $(5; 0; 2)$.
Ответ: $A_{xz}(1; 0; 4)$ и $B_{xz}(5; 0; 2)$.

в) Найдем проекции точек $A(1; 3; 4)$ и $B(5; -6; 2)$ на плоскость $Oyz$.
Плоскость $Oyz$ задается уравнением $x = 0$. Ось $Ox$ перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, для нахождения ортогональной проекции любой точки на плоскость $Oyz$, необходимо ее координату $x$ приравнять к нулю, а координаты $y$ и $z$ оставить без изменений.
Для точки $A(1; 3; 4)$ ее проекция $A_{yz}$ на плоскость $Oyz$ будет иметь координаты $(0; 3; 4)$.
Для точки $B(5; -6; 2)$ ее проекция $B_{yz}$ на плоскость $Oyz$ будет иметь координаты $(0; -6; 2)$.
Ответ: $A_{yz}(0; 3; 4)$ и $B_{yz}(0; -6; 2)$.