Номер 21.7, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 21. Прямоугольная система координат в пространстве. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 21.7, страница 107.

Условия.

21.7. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, точки $D$ и $D_1$ — середины ребер соответственно $AC$ и $A_1C_1$

(рис. 21.8). Точка $D$ — начало координат, отрезки $DB$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Найдите координаты вершин этой призмы.

Рис. 21.8

Решение.

Решение 2.

По условию, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1. Это означает, что в основаниях лежат равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со стороной 1, а высота призмы равна 1. Точка $D$ — середина ребра $AC$. Система координат задана следующим образом: начало в точке $D(0,0,0)$, ось $Ox$ сонаправлена с вектором $\vec{DB}$, ось $Oy$ — с вектором $\vec{DA}$, а ось $Oz$ — с вектором $\vec{DD_1}$.

Найдем координаты вершин призмы.

A
Точка $A$ лежит на оси $Oy$. Расстояние $DA$ равно половине длины ребра $AC$, так как $D$ — середина $AC$. $DA = AC / 2 = 1/2$. Поскольку ось $Oy$ сонаправлена с $\vec{DA}$, точка $A$ имеет положительную y-координату.
Ответ: $A(0; 1/2; 0)$.

C
Точка $D(0,0,0)$ является серединой отрезка $AC$. Зная координаты точек $A(0; 1/2; 0)$ и $D$, находим координаты $C$ из условия, что $\vec{DC} = -\vec{DA}$. Вектор $\vec{DA}$ имеет координаты $(0; 1/2; 0)$, следовательно, $\vec{DC}$ имеет координаты $(0; -1/2; 0)$. Координаты точки $C$ совпадают с координатами ее радиус-вектора $\vec{DC}$.
Ответ: $C(0; -1/2; 0)$.

B
Точка $B$ лежит на оси $Ox$. Расстояние $DB$ является высотой равностороннего треугольника $ABC$ со стороной 1. Длину высоты найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $BDC$: $DB = \sqrt{BC^2 - DC^2} = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку ось $Ox$ сонаправлена с $\vec{DB}$, точка $B$ имеет положительную x-координату.
Ответ: $B(\frac{\sqrt{3}}{2}; 0; 0)$.

Вершины верхнего основания $A_1, B_1, C_1$ получаются из соответствующих вершин нижнего основания $A, B, C$ параллельным переносом на вектор $\vec{v} = \vec{DD_1}$. Призма прямая, ее высота равна длине бокового ребра, то есть 1. Вектор $\vec{DD_1}$ сонаправлен с осью $Oz$, поэтому вектор переноса $\vec{v} = (0; 0; 1)$.

A₁
Координаты $A_1$ равны сумме координат точки $A$ и вектора $\vec{v}$: $A_1 = (0; 1/2; 0) + (0; 0; 1) = (0; 1/2; 1)$.
Ответ: $A_1(0; 1/2; 1)$.

B₁
Координаты $B_1$ равны сумме координат точки $B$ и вектора $\vec{v}$: $B_1 = (\frac{\sqrt{3}}{2}; 0; 0) + (0; 0; 1) = (\frac{\sqrt{3}}{2}; 0; 1)$.
Ответ: $B_1(\frac{\sqrt{3}}{2}; 0; 1)$.

C₁
Координаты $C_1$ равны сумме координат точки $C$ и вектора $\vec{v}$: $C_1 = (0; -1/2; 0) + (0; 0; 1) = (0; -1/2; 1)$.
Ответ: $C_1(0; -1/2; 1)$.