Номер 21.12, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 21. Прямоугольная система координат в пространстве. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 21.12, страница 108.

Условия.

21.12. Центром $O$ октаэдра является начало координат. Две его вершины имеют координаты $A(0; 1; 0)$ и $B(1; 0; 0)$ (рис. 21.11). Найдите координаты остальных вершин октаэдра.

Рис. 21.11

Решение.

Решение 2.

Правильный октаэдр — это многогранник, у которого 6 вершин, 12 ребер и 8 граней, являющихся равносторонними треугольниками. Центр октаэдра является его центром симметрии. Это означает, что для каждой вершины $V(x; y; z)$ существует противоположная ей вершина $V'(-x; -y; -z)$, и центр октаэдра $O$ является серединой отрезка $VV'$.

По условию задачи, центр октаэдра $O$ находится в начале координат, то есть его координаты $O(0; 0; 0)$. Даны две вершины: $A(0; 1; 0)$ и $B(1; 0; 0)$.

Используя свойство центральной симметрии, мы можем найти координаты вершин, противоположных данным. Обозначим их $C$ и $D$ в соответствии с рисунком (хотя на рисунке $D$ не является противоположной $B$). В правильном октаэдре вершины попарно противоположны. Найдем вершину, противоположную $A$. Пусть это будет вершина с координатами $(x, y, z)$. Тогда середина отрезка между $A$ и этой вершиной должна совпадать с центром $O$:$(\frac{0+x}{2}; \frac{1+y}{2}; \frac{0+z}{2}) = (0; 0; 0)$.Отсюда $x=0$, $y=-1$, $z=0$. Итак, одна из вершин имеет координаты $(0; -1; 0)$.

Аналогично найдем вершину, противоположную $B(1; 0; 0)$:$(\frac{1+x}{2}; \frac{0+y}{2}; \frac{0+z}{2}) = (0; 0; 0)$.Отсюда $x=-1$, $y=0$, $z=0$. Вторая искомая вершина имеет координаты $(-1; 0; 0)$.

Таким образом, мы нашли две из четырех недостающих вершин: $(0; -1; 0)$ и $(-1; 0; 0)$. Эти четыре вершины — $A(0; 1; 0)$, $B(1; 0; 0)$, $(0; -1; 0)$, $(-1; 0; 0)$ — лежат в плоскости $z=0$ и образуют квадрат, который является основанием для двух пирамид, составляющих октаэдр.

Найдем длину ребра октаэдра. Все 12 ребер правильного октаэдра равны. Длина ребра равна расстоянию между любыми двумя смежными вершинами. Вершины $A$ и $B$ являются смежными, так как они не противоположны. Длина ребра $AB$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:$|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2} = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$.

Оставшиеся две вершины (на рисунке $E$ и $F$) должны лежать на оси, перпендикулярной плоскости квадрата $ABCD$ и проходящей через центр октаэдра $O(0; 0; 0)$. Поскольку квадрат лежит в плоскости $Oxy$ ($z=0$), эта ось — ось $Oz$. Следовательно, координаты этих вершин имеют вид $(0; 0; z)$ и $(0; 0; -z)$.

Расстояние от вершины $E(0; 0; z)$ до любой из вершин квадрата ($A$, $B$, $C$ или $D$) должно быть равно длине ребра, то есть $\sqrt{2}$. Возьмем, например, вершину $A(0; 1; 0)$:$|AE| = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (0-z)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-z)^2} = \sqrt{1 + z^2}$.

Приравняем это расстояние к длине ребра:$\sqrt{1 + z^2} = \sqrt{2}$.Возведем обе части уравнения в квадрат:$1 + z^2 = 2$.$z^2 = 1$.Отсюда $z = 1$ или $z = -1$.

Следовательно, координаты оставшихся двух вершин: $(0; 0; 1)$ и $(0; 0; -1)$.

Ответ: Координаты остальных вершин октаэдра: $(0; -1; 0)$, $(-1; 0; 0)$, $(0; 0; 1)$, $(0; 0; -1)$.