Номер 21.8, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 21. Прямоугольная система координат в пространстве. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 21.8, страница 108.

Условия.

21.8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, вершина $E$ — начало координат, отрезки $ED$, $EA$, $EE_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно (рис. 21.9). Найдите координаты вершин этой призмы.

Рис. 21.9

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи введем правую декартову систему координат. Согласно условию, вершина E является началом координат, а ребро $EE_1$ лежит на оси $Oz$. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Условие, что ребра $ED$ и $EA$ лежат на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно, является противоречивым, так как угол между смежными сторонами правильного шестиугольника (в данном случае $\angle AED$ или $\angle FED$) равен $120^\circ$, а угол между осями $Ox$ и $Oy$ равен $90^\circ$. Поэтому, для нахождения однозначного решения, примем, что ребро $ED$ лежит на оси $Ox$, а основание $ABCDEF$ находится в плоскости $Oxy$. Все ребра призмы по условию равны 1.

Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$

Вершины нижнего основания лежат в плоскости $z=0$.

1. Вершина E является началом координат: $E(0, 0, 0)$.

2. Вершина D лежит на оси $Ox$ на расстоянии 1 от $E$: $D(1, 0, 0)$.

3. Для нахождения координат остальных вершин найдем центр шестиугольника $O_{hex}$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны. Следовательно, центр $O_{hex}(x_c, y_c, 0)$ равноудален от вершин $E$ и $D$ на расстояние 1. Составим систему уравнений:

$|O_{hex}E|^2 = x_c^2 + y_c^2 = 1^2$

$|O_{hex}D|^2 = (x_c-1)^2 + y_c^2 = 1^2$

Приравняем левые части: $x_c^2 + y_c^2 = (x_c-1)^2 + y_c^2 \implies x_c^2 = x_c^2 - 2x_c + 1 \implies 2x_c = 1 \implies x_c = \frac{1}{2}$.

Подставим $x_c$ в первое уравнение: $(\frac{1}{2})^2 + y_c^2 = 1 \implies y_c^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \implies y_c = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. Для обеспечения стандартного обхода вершин $A, B, C, D, E, F$ против часовой стрелки выберем положительное значение $y_c$. Таким образом, центр основания $O_{hex}(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

4. Остальные вершины ($A, B, C, F$) найдем как векторы, исходящие из центра $O_{hex}$. Векторы от центра до вершин в правильном шестиугольнике отстоят друг от друга на $60^\circ$. Вектор $\vec{O_{hex}E}$ имеет координаты $(0-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, что соответствует углу $240^\circ$. Двигаясь против часовой стрелки, находим остальные вершины:

• Вершина F (угол $240^\circ - 60^\circ = 180^\circ$): $F = O_{hex} + (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}+0, 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

• Вершина A (угол $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$): $A = O_{hex} + (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (0, \sqrt{3}, 0)$.

• Вершина B (угол $120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$): $B = O_{hex} + (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (1, \sqrt{3}, 0)$.

• Вершина C (угол $60^\circ - 60^\circ = 0^\circ$): $C = O_{hex} + (\cos(0^\circ), \sin(0^\circ), 0) = (\frac{1}{2}+1, \frac{\sqrt{3}}{2}+0, 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$

Призма прямая, и ее высота равна длине бокового ребра, то есть 1. Координаты вершин верхнего основания получаются добавлением 1 к аппликате (координате $z$) соответствующих вершин нижнего основания, так как вектор высоты $\vec{EE_1} = (0, 0, 1)$.

• $E_1(0, 0, 1)$

• $D_1(1, 0, 1)$

• $C_1(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

• $B_1(1, \sqrt{3}, 1)$

• $A_1(0, \sqrt{3}, 1)$

• $F_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Ответ: Координаты вершин призмы:

Нижнее основание:

$A(0, \sqrt{3}, 0)$, $B(1, \sqrt{3}, 0)$, $C(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $D(1, 0, 0)$, $E(0, 0, 0)$, $F(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Верхнее основание:

$A_1(0, \sqrt{3}, 1)$, $B_1(1, \sqrt{3}, 1)$, $C_1(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$, $D_1(1, 0, 1)$, $E_1(0, 0, 1)$, $F_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.