Задания, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Напишите неравенство, которому удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих шару с центром в точке $A_0(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$.

Для решения этой задачи необходимо сначала определить, что такое шар в трехмерном пространстве и какому неравенству удовлетворяют координаты точек, принадлежащих ему. Шар с центром в точке $A_0(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ — это геометрическое место точек, расстояние от которых до центра не превышает радиус $R$.

Расстояние $d$ от произвольной точки $M(x; y; z)$ до центра $A_0(x_0; y_0; z_0)$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$d = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2}$

Точки, которые принадлежат шару (то есть находятся внутри него или на его границе — сфере), удовлетворяют условию $d \le R$. Подставив формулу для расстояния, мы получаем неравенство для точек, принадлежащих шару:

$\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2} \le R$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 \le R^2$

В задаче требуется найти неравенство для координат точек, которые не принадлежат шару. Это означает, что мы ищем все точки, которые находятся строго вне шара. Для таких точек расстояние от них до центра $A_0$ должно быть строго больше радиуса $R$.

Запишем это условие математически:

$d > R$

Теперь подставим в это неравенство выражение для расстояния $d$:

$\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2} > R$

Так как радиус $R$ — это положительная величина (по определению, $R>0$), мы можем возвести обе части этого неравенства в квадрат, при этом знак неравенства сохранится. В результате получаем искомое неравенство:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 > R^2$

Это неравенство описывает множество всех точек пространства, которые находятся за пределами шара с центром в $A_0(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$.

Ответ: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 > R^2$