Вопросы, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какой формулой выражается расстояние между двумя точками в пространстве?

2. Какому равенству удовлетворяют координаты точек сферы?

3. Какое равенство называется уравнением сферы?

4. Какому неравенству удовлетворяют координаты точек шара?

1. Какой формулой выражается расстояние между двумя точками в пространстве?
Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве является обобщением теоремы Пифагора. Если даны две точки $A$ с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и $B$ с координатами $(x_2, y_2, z_2)$, то расстояние $d$ между ними вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов разностей их соответствующих координат.
Ответ: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

2. Какому равенству удовлетворяют координаты точек сферы?
Сфера — это поверхность, состоящая из всех точек пространства, которые находятся на одинаковом расстоянии (радиусе $R$) от заданной точки (центра $C(x_0, y_0, z_0)$). Для любой точки $M(x, y, z)$, лежащей на сфере, расстояние от $M$ до $C$ равно $R$. Если возвести в квадрат обе части этого утверждения, используя формулу расстояния между точками, мы получим равенство, которому удовлетворяют координаты всех точек сферы.
Ответ: Координаты $(x, y, z)$ любой точки сферы с центром в $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ удовлетворяют равенству $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$.

3. Какое равенство называется уравнением сферы?
Уравнением сферы называется такое уравнение с тремя переменными ($x, y, z$), которому удовлетворяют координаты любой точки сферы и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней. Это равенство является алгебраическим представлением геометрического определения сферы.
Ответ: Уравнением сферы радиуса $R$ и с центром в точке $C(x_0, y_0, z_0)$ называется равенство $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$.

4. Какому неравенству удовлетворяют координаты точек шара?
Шар — это тело, ограниченное сферой, то есть оно включает в себя все точки на сфере и все точки внутри нее. Это означает, что расстояние от любой точки шара $M(x, y, z)$ до его центра $C(x_0, y_0, z_0)$ должно быть меньше или равно радиусу $R$. Это условие выражается неравенством.
Ответ: Координаты $(x, y, z)$ любой точки шара с центром в $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ удовлетворяют неравенству $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \le R^2$.