Номер 22.5, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 22. Расстояние между точками. Уравнение сферы. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 22.5, страница 110.

Условия.

22.5. Напишите уравнение сферы:

a) с центром в точке $O(0; 0; 0)$ и радиусом 1;

б) с центром в точке $O(1; -2; 3)$ и радиусом 4.

Решение.

Решение 2.

Общее уравнение сферы в трехмерном пространстве с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Для решения задачи необходимо подставить заданные координаты центра и радиус в эту формулу для каждого случая.

а)

В данном случае центр сферы находится в точке $O(0; 0; 0)$, то есть $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$. Радиус сферы равен $R = 1$.

Подставляем эти значения в общую формулу уравнения сферы:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 1^2$

После упрощения получаем искомое уравнение:

$x^2 + y^2 + z^2 = 1$

Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

б)

Здесь центр сферы находится в точке $O(1; -2; 3)$, следовательно $x_0 = 1$, $y_0 = -2$, $z_0 = 3$. Радиус сферы равен $R = 4$.

Подставляем эти значения в общую формулу уравнения сферы:

$(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 3)^2 = 4^2$

Упрощаем выражение и вычисляем квадрат радиуса:

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 16$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 16$.