Вопросы, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется координатами вектора?

2. Какие векторы называются координатными векторами?

3. Как выражается длина вектора через его координаты?

4. Как выражается длина вектора через координаты его начала и конца?

5. Как обозначается скалярное произведение векторов?

6. Как определяется скалярное произведение векторов?

7. Что называется скалярным квадратом вектора?

8. Как выражается скалярное произведение векторов через их координаты?

9. Как выражается угол между векторами через их координаты?

1. Что называется координатами вектора?
Координатами вектора в определенной системе координат (базисе) называют коэффициенты, с которыми нужно сложить базисные векторы, чтобы получить данный вектор. В прямоугольной декартовой системе координат с ортами (единичными векторами осей) $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ любой вектор $\vec{a}$ можно представить в виде суммы $\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$. Числа $a_x, a_y, a_z$ и являются координатами вектора $\vec{a}$ и записываются как $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$. Геометрически эти числа являются проекциями вектора на соответствующие координатные оси. Если вектор задан координатами своего начала $A(x_1, y_1, z_1)$ и конца $B(x_2, y_2, z_2)$, то его координаты вычисляются как разность координат конца и начала: $\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$.
Ответ: Координатами вектора называются коэффициенты его разложения по базисным векторам, которые численно равны проекциям вектора на координатные оси.

2. Какие векторы называются координатными векторами?
Координатными векторами (или ортами) в прямоугольной декартовой системе координат называются три взаимно перпендикулярных единичных вектора, направление каждого из которых совпадает с положительным направлением одной из осей координат. Для трехмерного пространства их обычно обозначают $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Вектор $\vec{i}$ сонаправлен с осью абсцисс (Ox), вектор $\vec{j}$ — с осью ординат (Oy), а вектор $\vec{k}$ — с осью аппликат (Oz). Длины этих векторов равны единице: $|\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1$. Их координаты: $\vec{i}=\{1; 0; 0\}$, $\vec{j}=\{0; 1; 0\}$, $\vec{k}=\{0; 0; 1\}$.
Ответ: Координатными векторами (ортами) называются единичные векторы, направления которых совпадают с положительными направлениями осей координат.

3. Как выражается длина вектора через его координаты?
Длина (или модуль) вектора $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат. Эта формула является обобщением теоремы Пифагора на трехмерное пространство. Для вектора на плоскости с координатами $\vec{a} = \{a_x; a_y\}$ формула аналогична: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.
Ответ: Длина вектора $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ выражается формулой $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

4. Как выражается длина вектора через координаты его начала и конца?
Если вектор $\vec{AB}$ задан координатами своего начала $A(x_1; y_1; z_1)$ и конца $B(x_2; y_2; z_2)$, то сначала нужно найти координаты самого вектора: $\vec{AB} = \{x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1\}$. Затем, используя формулу длины вектора через его координаты, получаем формулу для длины вектора $\vec{AB}$. Эта формула совпадает с формулой расстояния между двумя точками в пространстве.
Ответ: Длина вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_1; y_1; z_1)$ и концом в точке $B(x_2; y_2; z_2)$ выражается формулой $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

5. Как обозначается скалярное произведение векторов?
Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является числом (скаляром). Для его обозначения чаще всего используется точка между векторами, по аналогии со знаком умножения. Также иногда используются круглые скобки.
Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$.

6. Как определяется скалярное произведение векторов?
Геометрическое определение скалярного произведения связывает его с длинами векторов и углом между ними. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение считается равным нулю.
Ответ: Скалярное произведение двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как число, равное произведению их длин (модулей) на косинус угла $\theta$ между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$.

7. Что называется скалярным квадратом вектора?
Скалярный квадрат вектора — это частный случай скалярного произведения, когда вектор умножается сам на себя. Применяя определение скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{a}$, получаем, что угол между вектором и им же самим равен нулю, а косинус нуля равен единице. Таким образом, $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| |\vec{a}| \cos(0) = |\vec{a}|^2$. Скалярный квадрат вектора обозначается как $\vec{a}^2$.
Ответ: Скалярным квадратом вектора $\vec{a}$ называется скалярное произведение этого вектора на самого себя ($\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$), которое равно квадрату его длины: $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$.

8. Как выражается скалярное произведение векторов через их координаты?
Алгебраическое определение скалярного произведения выражает его через координаты векторов-сомножителей в прямоугольной декартовой системе координат. Оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат векторов.
Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\}$ выражается формулой $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

9. Как выражается угол между векторами через их координаты?
Для нахождения угла между векторами можно приравнять геометрическое и алгебраическое определения скалярного произведения: $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$. Из этого равенства можно выразить косинус угла $\theta$. Длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ также выражаются через их координаты.
Ответ: Косинус угла $\theta$ между ненулевыми векторами $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\}$ выражается через их координаты формулой: $\cos\theta = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}$.