Номер 22.8, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 22. Расстояние между точками. Уравнение сферы. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 22.8, страница 110.

Условия.

22.8. Напишите уравнение сферы с центром в точке $O(1; 2; -1)$, касающейся координатной плоскости:

a) $Oxy$;

б) $Oxz$;

в) $Oyz$.

Решение.

Решение 2.

Общее уравнение сферы с центром в точке $(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$. По условию задачи, центр сферы находится в точке $O(1; 2; -1)$, следовательно, $x_0=1$, $y_0=2$, $z_0=-1$. Уравнение сферы принимает вид: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = R^2$. Радиус сферы, касающейся координатной плоскости, равен расстоянию от ее центра до этой плоскости.

а) Oxy
Сфера касается координатной плоскости $Oxy$. Уравнение этой плоскости — $z=0$. Расстояние от центра сферы $O(1; 2; -1)$ до плоскости $z=0$ равно модулю z-координаты центра. Следовательно, радиус сферы $R = |z_0| = |-1| = 1$. Подставляем значение радиуса в уравнение: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 1^2$.
Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 1$.

б) Oxz
Сфера касается координатной плоскости $Oxz$. Уравнение этой плоскости — $y=0$. Расстояние от центра сферы $O(1; 2; -1)$ до плоскости $y=0$ равно модулю y-координаты центра. Следовательно, радиус сферы $R = |y_0| = |2| = 2$. Подставляем значение радиуса в уравнение: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 2^2$.
Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 4$.

в) Oyz
Сфера касается координатной плоскости $Oyz$. Уравнение этой плоскости — $x=0$. Расстояние от центра сферы $O(1; 2; -1)$ до плоскости $x=0$ равно модулю x-координаты центра. Следовательно, радиус сферы $R = |x_0| = |1| = 1$. Подставляем значение радиуса в уравнение: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 1^2$.
Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 1$.