Номер 22.10, страница 111 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 22. Расстояние между точками. Уравнение сферы. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 22.10, страница 111.

Условия.

22.10. По аналогии с определением понятия координат вектора на координатной плоскости попробуйте определить понятие координат вектора в координатном пространстве.

Решение.

Решение 2.

Для определения понятия координат вектора в координатном пространстве воспользуемся аналогией с определением координат вектора на координатной плоскости. Напомним, что на плоскости в системе координат $Oxy$ любой вектор $\vec{a}$ можно единственным образом разложить по двум единичным взаимно перпендикулярным векторам (ортам) $\vec{i}$ и $\vec{j}$: $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$. Коэффициенты $x$ и $y$ в этом разложении и являются координатами вектора $\vec{a}$ на плоскости, что записывается как $\vec{a}(x, y)$.

Перенесем этот принцип в трехмерное пространство. Введем прямоугольную (декартову) систему координат $Oxyz$, состоящую из трех взаимно перпендикулярных осей: $Ox$ (ось абсцисс), $Oy$ (ось ординат) и $Oz$ (ось аппликат), пересекающихся в точке $O$ (начало координат).

На положительных направлениях каждой из осей отложим единичные векторы, которые называют координатными векторами или ортами:
• вектор $\vec{i}$, сонаправленный с осью $Ox$;
• вектор $\vec{j}$, сонаправленный с осью $Oy$;
• вектор $\vec{k}$, сонаправленный с осью $Oz$.

Любой вектор $\vec{a}$ в пространстве можно единственным образом представить как сумму произведений этих ортов на некоторые числа $x, y, z$. Такое представление называется разложением вектора по координатным векторам:$ \vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} $

Числа $x, y, z$ в этом разложении и есть координаты вектора в пространстве. Таким образом, можно дать следующее определение.

Координатами вектора $\vec{a}$ в пространстве называется упорядоченная тройка чисел $(x, y, z)$ в его разложении по координатным векторам $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Координаты принято записывать в скобках после обозначения вектора: $\vec{a}(x, y, z)$.

Также, по аналогии с плоскостью, координаты вектора можно определить через координаты его начальной и конечной точек. Если вектор $\vec{a}$ задан начальной точкой $A(x_1, y_1, z_1)$ и конечной точкой $B(x_2, y_2, z_2)$, то его координаты находятся как разность соответствующих координат конца и начала вектора:$ \vec{a} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) $

Отсюда следует, что координаты вектора, отложенного от начала координат $O(0, 0, 0)$ до точки $M(x_M, y_M, z_M)$, совпадают с координатами точки $M$. Такой вектор называется радиус-вектором точки $M$.

Ответ: Координатами вектора $\vec{a}$ в прямоугольной системе координат в пространстве называется упорядоченная тройка чисел $(x, y, z)$ такая, что выполняется равенство $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$, где $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ — единичные векторы, сонаправленные с осями $Ox, Oy, Oz$ соответственно. Если вектор задан координатами своей начальной точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и конечной точки $B(x_2, y_2, z_2)$, то его координаты равны $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.