Номер 23.4, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23.4. Векторы $\vec{a}_1(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{a}_2(x_2; y_2; z_2)$ коллинеарны. Как связаны между собой их координаты?

По определению, два вектора $\vec{a_1}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{a_2}(x_2; y_2; z_2)$ являются коллинеарными, если существует такое действительное число $k$ (коэффициент пропорциональности), что выполняется векторное равенство:

$\vec{a_2} = k \cdot \vec{a_1}$

Это равенство означает, что один вектор может быть получен из другого путем умножения на скаляр.

Запишем данное векторное равенство в координатной форме. Умножение вектора на число означает умножение каждой его координаты на это число:

$(x_2; y_2; z_2) = (k \cdot x_1; k \cdot y_1; k \cdot z_1)$

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты. Следовательно, мы можем записать систему из трех уравнений, которые связывают координаты векторов $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$:

$x_2 = kx_1$
$y_2 = ky_1$
$z_2 = kz_1$

Эта система уравнений показывает, что соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Если все координаты вектора $\vec{a_1}$ не равны нулю (то есть $x_1 \neq 0$, $y_1 \neq 0$, $z_1 \neq 0$), то из каждого уравнения можно выразить коэффициент $k$ и составить пропорцию:

$\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} = k$

Это и есть условие коллинеарности векторов, выраженное через их координаты.

Следует учесть случай, когда одна или несколько координат вектора $\vec{a_1}$ равны нулю. Например, если $x_1 = 0$, то из равенства $x_2 = kx_1$ следует, что и $x_2$ также должен быть равен нулю. В этом случае формальная запись дроби $\frac{x_2}{x_1}$ некорректна, но условие пропорциональности по-прежнему считается выполненным (если знаменатель дроби в пропорции равен нулю, то и соответствующий числитель тоже должен быть равен нулю).

Ответ: Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$, что выполняются равенства: $x_2 = kx_1$, $y_2 = ky_1$, $z_2 = kz_1$. Если координаты первого вектора не равны нулю, эту связь можно записать в виде пропорции: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1}$.