Номер 23.11, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

горы: а) $3a+2b$, б) $a+3b$.

23.11. Какому условию должны удовлетворять координаты вектора, чтобы он был:

а) перпендикулярен координатной плоскости $Oxy$;

б) параллелен координатной прямой $Ox$?

а) Пусть вектор задан своими координатами в трехмерном пространстве: $\vec{v} = (x; y; z)$.
Координатная плоскость $Oxy$ содержит все векторы, у которых третья координата (аппликата) равна нулю. Любой вектор в этой плоскости можно представить как линейную комбинацию базисных векторов $\vec{i}=(1; 0; 0)$ и $\vec{j}=(0; 1; 0)$.
Чтобы вектор $\vec{v}$ был перпендикулярен плоскости $Oxy$, он должен быть перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости. Достаточно проверить перпендикулярность к базисным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$.
Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
1. Условие перпендикулярности $\vec{v}$ и $\vec{i}$:
$\vec{v} \cdot \vec{i} = (x; y; z) \cdot (1; 0; 0) = x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0 = x$.
Следовательно, $x = 0$.
2. Условие перпендикулярности $\vec{v}$ и $\vec{j}$:
$\vec{v} \cdot \vec{j} = (x; y; z) \cdot (0; 1; 0) = x \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot 0 = y$.
Следовательно, $y = 0$.
Таким образом, чтобы вектор был перпендикулярен плоскости $Oxy$, его координаты $x$ и $y$ должны быть равны нулю. Координата $z$ может быть любым действительным числом, отличным от нуля (в противном случае вектор будет нулевым). Такой вектор $(0; 0; z)$ будет коллинеарен оси $Oz$, которая перпендикулярна плоскости $Oxy$.
Ответ: его первая и вторая координаты должны быть равны нулю ($x=0, y=0$), а третья координата не должна быть равна нулю ($z \neq 0$).

б) Пусть вектор задан своими координатами $\vec{v} = (x; y; z)$.
Координатная прямая $Ox$ (ось абсцисс) имеет направляющий вектор $\vec{i}=(1; 0; 0)$.
Чтобы вектор $\vec{v}$ был параллелен координатной прямой $Ox$, он должен быть коллинеарен ее направляющему вектору $\vec{i}$.
Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$ (скаляр), что $\vec{v} = k \cdot \vec{i}$.
Запишем это равенство в координатной форме:
$(x; y; z) = k \cdot (1; 0; 0)$
$(x; y; z) = (k \cdot 1; k \cdot 0; k \cdot 0)$
$(x; y; z) = (k; 0; 0)$
Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему условий:
$x = k$
$y = 0$
$z = 0$
Это означает, что вторая и третья координаты вектора должны быть равны нулю. Первая координата $x$ может быть любым действительным числом, отличным от нуля (если $x=0$, то и $k=0$, и вектор становится нулевым).
Ответ: его вторая и третья координаты должны быть равны нулю ($y=0, z=0$), а первая координата не должна быть равна нулю ($x \neq 0$).