Номер 23.17, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23.17. Повторите уравнение прямой на координатной плоскости.

Прямая на координатной плоскости — это геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению. Существует несколько стандартных форм записи этого уравнения, каждая из которых удобна для решения определенного типа задач.

Общее уравнение прямой

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида:$Ax + By + C = 0$где $A$, $B$, и $C$ — некоторые числовые коэффициенты, причем хотя бы один из коэффициентов $A$ или $B$ должен быть отличен от нуля (то есть $A^2 + B^2 \neq 0$). Вектор с координатами $\vec{n} = (A, B)$ является вектором нормали к этой прямой, то есть он перпендикулярен ей. Эта форма является универсальной и описывает абсолютно любую прямую на плоскости.
Ответ: Общее уравнение прямой имеет вид $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$, $C$ — константы, и $A^2 + B^2 \neq 0$.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Это наиболее часто используемая форма уравнения прямой, которая не является вертикальной. Она имеет вид:$y = kx + b$Здесь:
• $k$ — угловой коэффициент. Он равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс (Ox): $k = \tan(\alpha)$. Угловой коэффициент показывает, насколько быстро изменяется $y$ при изменении $x$. Если $k > 0$, функция возрастает; если $k < 0$ — убывает; если $k = 0$ — прямая горизонтальна.
• $b$ — свободный член, который равен ординате точки пересечения прямой с осью ординат (Oy). Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, b)$.
Если известны координаты двух точек на прямой $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, то угловой коэффициент можно найти по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Ответ: Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения с осью Oy.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении

Если известны координаты точки $M_0(x_0, y_0)$, через которую проходит прямая, и её угловой коэффициент $k$, то уравнение прямой можно записать в следующем виде:$y - y_0 = k(x - x_0)$Эта форма получается напрямую из определения углового коэффициента $k = \frac{y - y_0}{x - x_0}$ для любой другой точки $(x, y)$ на прямой.
Ответ: Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Если даны две различные точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, через которые проходит прямая, её уравнение можно составить по формуле:$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$Эта формула справедлива, если прямая не параллельна осям координат ($x_1 \neq x_2$ и $y_1 \neq y_2$). Если $x_1 = x_2$, то прямая вертикальна, и её уравнение $x = x_1$. Если $y_1 = y_2$, то прямая горизонтальна, и её уравнение $y = y_1$.
Ответ: Уравнение прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

Уравнение прямой в отрезках

Если прямая пересекает оси координат в точках $(a, 0)$ и $(0, b)$, где $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то её уравнение можно записать в виде:$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$Здесь $a$ — это абсцисса точки пересечения с осью Ox (x-интерсепт), а $b$ — ордината точки пересечения с осью Oy (y-интерсепт). Эта форма удобна для быстрого построения графика прямой по точкам пересечения с осями.
Ответ: Уравнение прямой в отрезках имеет вид $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, где $a$ и $b$ — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях Ox и Oy соответственно.

Частные случаи уравнений прямой

Рассмотрим некоторые частные случаи, вытекающие из общих форм:
• Горизонтальная прямая: параллельна оси Ox. Её угловой коэффициент $k = 0$. Уравнение имеет вид $y = b$. В общем виде $A = 0$.
• Вертикальная прямая: параллельна оси Oy. Угловой коэффициент для неё не определён. Уравнение имеет вид $x = a$. В общем виде $B = 0$.
• Прямая, проходящая через начало координат: пересекает оси в точке $(0, 0)$. В уравнении с угловым коэффициентом $b = 0$, и оно принимает вид $y = kx$. В общем уравнении $C = 0$.
Ответ: Горизонтальная прямая: $y = b$. Вертикальная прямая: $x = a$. Прямая через начало координат: $y = kx$.