Номер 23.15, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23.15. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $ \vec{e}(1; 1; 1) $ с координатными векторами.

Для нахождения косинусов углов, которые образует вектор $\vec{e}(1; 1; 1)$ с координатными векторами, используется формула косинуса угла между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их длины (модули).

Координатными векторами в трехмерном пространстве являются единичные векторы (орты) $\vec{i}=(1; 0; 0)$, $\vec{j}=(0; 1; 0)$ и $\vec{k}=(0; 0; 1)$. Их длины равны 1: $|\vec{i}|=1$, $|\vec{j}|=1$, $|\vec{k}|=1$.

Сначала найдем длину вектора $\vec{e}(1; 1; 1)$:

$|\vec{e}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Косинус угла с координатным вектором $\vec{i}$

Пусть $\alpha$ — это угол между вектором $\vec{e}$ и вектором $\vec{i}$. Найдем их скалярное произведение:

$\vec{e} \cdot \vec{i} = (1 \cdot 1) + (1 \cdot 0) + (1 \cdot 0) = 1$.

Теперь вычислим косинус угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{e} \cdot \vec{i}}{|\vec{e}| \cdot |\vec{i}|} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Косинус угла с координатным вектором $\vec{j}$

Пусть $\beta$ — это угол между вектором $\vec{e}$ и вектором $\vec{j}$. Найдем их скалярное произведение:

$\vec{e} \cdot \vec{j} = (1 \cdot 0) + (1 \cdot 1) + (1 \cdot 0) = 1$.

Теперь вычислим косинус угла $\beta$:

$\cos(\beta) = \frac{\vec{e} \cdot \vec{j}}{|\vec{e}| \cdot |\vec{j}|} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Косинус угла с координатным вектором $\vec{k}$

Пусть $\gamma$ — это угол между вектором $\vec{e}$ и вектором $\vec{k}$. Найдем их скалярное произведение:

$\vec{e} \cdot \vec{k} = (1 \cdot 0) + (1 \cdot 0) + (1 \cdot 1) = 1$.

Теперь вычислим косинус угла $\gamma$:

$\cos(\gamma) = \frac{\vec{e} \cdot \vec{k}}{|\vec{e}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.