Номер 23.18, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23.18. По аналогии с уравнением прямой на координатной плоскости попробуйте написать уравнение плоскости в координатном пространстве.

Для того чтобы вывести уравнение плоскости в пространстве, проведем аналогию с уравнением прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на координатной плоскости (в 2D) имеет вид: $Ax + By + C = 0$, где $x$ и $y$ — координаты точек на прямой, а $A$, $B$, и $C$ — некоторые числовые коэффициенты, причем $A$ и $B$ не равны нулю одновременно.

Это уравнение является линейным относительно двух переменных ($x$ и $y$). Координатное пространство является трехмерным (3D), и точка в нем задается тремя координатами: ($x$, $y$, $z$). По аналогии, геометрическое место точек, удовлетворяющих линейному уравнению с тремя переменными, будет представлять собой плоскость.

Таким образом, общее уравнение плоскости в координатном пространстве имеет вид:
$Ax + By + Cz + D = 0$
Здесь $x$, $y$, $z$ — координаты любой точки, принадлежащей плоскости, а $A$, $B$, $C$, и $D$ — числовые коэффициенты. При этом коэффициенты $A$, $B$, и $C$ не могут быть равны нулю одновременно, так как в этом случае уравнение либо не будет иметь решений (если $D \neq 0$), либо ему будет удовлетворять любая точка пространства (если $D = 0$).

Эта аналогия глубже, чем кажется. В уравнении прямой $Ax + By + C = 0$ вектор с координатами $\vec{n} = (A, B)$ является вектором нормали, то есть вектором, перпендикулярным этой прямой. Точно так же в уравнении плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вектор с координатами $\vec{n} = (A, B, C)$ является вектором нормали к этой плоскости. То есть, он перпендикулярен любому вектору, лежащему в данной плоскости.

Это можно показать, взяв две точки на плоскости $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и $M(x, y, z)$. Вектор $\vec{M_0M} = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$ лежит в плоскости. Так как обе точки удовлетворяют уравнению плоскости, то:
$Ax + By + Cz + D = 0$
$Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0$
Вычитая второе уравнение из первого, получаем:
$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$
Это выражение является скалярным произведением вектора нормали $\vec{n} = (A, B, C)$ и вектора $\vec{M_0M}$. Так как их скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, что и требовалось показать.

Ответ: По аналогии с уравнением прямой на плоскости ($Ax + By + C = 0$), уравнение плоскости в трехмерном координатном пространстве является линейным уравнением с тремя переменными и имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $A, B, C, D$ — постоянные коэффициенты, причем $A, B, C$ не равны нулю одновременно.