Номер 24.5, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

§ 24*. Уравнение плоскости в пространстве. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 24.5, страница 117.

Условия.

24.5. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку $M(-1; 2; 1)$, с вектором нормали $\vec{n}$, имеющим координаты:

а) $(0; -5; 2)$;

б) $(6; -1; 3)$;

в) $(-4; -2; -1)$;

г) $(-3; -8; 0)$.

Решение.

Решение 2.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей вектор нормали $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

По условию задачи, плоскость проходит через точку $M(-1; 2; 1)$. Следовательно, $x_0 = -1$, $y_0 = 2$, $z_0 = 1$.

Подставим координаты точки $M$ в общее уравнение плоскости:

$A(x - (-1)) + B(y - 2) + C(z - 1) = 0$

$A(x + 1) + B(y - 2) + C(z - 1) = 0$

Теперь для каждого случая подставим координаты соответствующего вектора нормали $\vec{n} = (A; B; C)$.

а)Для вектора нормали $\vec{n} = (0; -5; 2)$, имеем $A=0$, $B=-5$, $C=2$. Подставляем эти значения в уравнение:$0 \cdot (x + 1) + (-5) \cdot (y - 2) + 2 \cdot (z - 1) = 0$$0 - 5(y - 2) + 2(z - 1) = 0$$-5y + 10 + 2z - 2 = 0$$-5y + 2z + 8 = 0$Для удобства можно умножить обе части уравнения на $-1$:$5y - 2z - 8 = 0$Ответ: $5y - 2z - 8 = 0$.

б)Для вектора нормали $\vec{n} = (6; -1; 3)$, имеем $A=6$, $B=-1$, $C=3$. Подставляем эти значения в уравнение:$6(x + 1) + (-1)(y - 2) + 3(z - 1) = 0$$6x + 6 - y + 2 + 3z - 3 = 0$Приводим подобные члены:$6x - y + 3z + 5 = 0$Ответ: $6x - y + 3z + 5 = 0$.

в)Для вектора нормали $\vec{n} = (-4; -2; -1)$, имеем $A=-4$, $B=-2$, $C=-1$. Подставляем эти значения в уравнение:$-4(x + 1) + (-2)(y - 2) + (-1)(z - 1) = 0$$-4x - 4 - 2y + 4 - z + 1 = 0$Приводим подобные члены:$-4x - 2y - z + 1 = 0$Умножим обе части уравнения на $-1$:$4x + 2y + z - 1 = 0$Ответ: $4x + 2y + z - 1 = 0$.

г)Для вектора нормали $\vec{n} = (-3; -8; 0)$, имеем $A=-3$, $B=-8$, $C=0$. Подставляем эти значения в уравнение:$-3(x + 1) + (-8)(y - 2) + 0 \cdot (z - 1) = 0$$-3x - 3 - 8y + 16 = 0$Приводим подобные члены:$-3x - 8y + 13 = 0$Умножим обе части уравнения на $-1$:$3x + 8y - 13 = 0$Ответ: $3x + 8y - 13 = 0$.