Страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24.2. Напишите уравнение координатной плоскости:

а) $Oxy$;

б) $Oxz$;

в) $Oyz$.

а) Координатная плоскость $Oxy$ — это множество всех точек в пространстве, третья координата (аппликата) которых равна нулю. Она проходит через оси абсцисс ($Ox$) и ординат ($Oy$). Любая точка $M$, лежащая в этой плоскости, имеет координаты $(x; y; 0)$. Следовательно, условие, которое определяет принадлежность точки этой плоскости, — это равенство нулю ее $z$-координаты.
Ответ: $z = 0$

б) Координатная плоскость $Oxz$ — это множество всех точек в пространстве, вторая координата (ордината) которых равна нулю. Она проходит через оси абсцисс ($Ox$) и аппликат ($Oz$). Любая точка $M$, лежащая в этой плоскости, имеет координаты $(x; 0; z)$. Следовательно, условие, которое определяет принадлежность точки этой плоскости, — это равенство нулю ее $y$-координаты.
Ответ: $y = 0$

в) Координатная плоскость $Oyz$ — это множество всех точек в пространстве, первая координата (абсцисса) которых равна нулю. Она проходит через оси ординат ($Oy$) и аппликат ($Oz$). Любая точка $M$, лежащая в этой плоскости, имеет координаты $(0; y; z)$. Следовательно, условие, которое определяет принадлежность точки этой плоскости, — это равенство нулю ее $x$-координаты.
Ответ: $x = 0$

24.3. Даны точки A(3; 2; 5), B(-1; -2; 2), C(7; 0; -9). Укажите, какие из них принадлежат плоскости $2x - 3y + z - 5 = 0$.

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка плоскости, необходимо подставить ее координаты $(x; y; z)$ в уравнение плоскости $2x - 3y + z - 5 = 0$. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то есть левая часть уравнения обращается в ноль, то точка принадлежит плоскости. В противном случае — не принадлежит.

Проверим каждую точку:

Для точки A(3; 2; 5)

Подставляем координаты $x=3$, $y=2$, $z=5$ в уравнение плоскости:

$2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 + 5 - 5 = 6 - 6 + 5 - 5 = 0$

Получено верное равенство $0 = 0$, следовательно, точка A принадлежит плоскости.

Для точки B(-1; -2; 2)

Подставляем координаты $x=-1$, $y=-2$, $z=2$ в уравнение плоскости:

$2 \cdot (-1) - 3 \cdot (-2) + 2 - 5 = -2 + 6 + 2 - 5 = 1$

Получено неверное равенство $1 \neq 0$, следовательно, точка B не принадлежит плоскости.

Для точки C(7; 0; -9)

Подставляем координаты $x=7$, $y=0$, $z=-9$ в уравнение плоскости:

$2 \cdot 7 - 3 \cdot 0 + (-9) - 5 = 14 - 0 - 9 - 5 = 0$

Получено верное равенство $0 = 0$, следовательно, точка C принадлежит плоскости.

Ответ: плоскости принадлежат точки A(3; 2; 5) и C(7; 0; -9).

24.4. Дана плоскость $x + 2y - 3z - 1 = 0$. Найдите ее точки пересечения с осями координат.

Чтобы найти точки пересечения плоскости с осями координат, нужно учесть, что на каждой оси две из трех координат точки равны нулю. Дано уравнение плоскости: $x + 2y - 3z - 1 = 0$.

Точка пересечения с осью Ox (ось абсцисс)
Любая точка, лежащая на оси Ox, имеет координаты вида $(x, 0, 0)$. Чтобы найти точку пересечения, подставим $y=0$ и $z=0$ в уравнение плоскости:
$x + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 1 = 0$
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(1, 0, 0)$.
Ответ: $(1, 0, 0)$.

Точка пересечения с осью Oy (ось ординат)
Любая точка, лежащая на оси Oy, имеет координаты вида $(0, y, 0)$. Подставим $x=0$ и $z=0$ в уравнение плоскости:
$0 + 2y - 3 \cdot 0 - 1 = 0$
$2y - 1 = 0$
$2y = 1$
$y = \frac{1}{2}$
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, \frac{1}{2}, 0)$.
Ответ: $(0, \frac{1}{2}, 0)$.

Точка пересечения с осью Oz (ось аппликат)
Любая точка, лежащая на оси Oz, имеет координаты вида $(0, 0, z)$. Подставим $x=0$ и $y=0$ в уравнение плоскости:
$0 + 2 \cdot 0 - 3z - 1 = 0$
$-3z - 1 = 0$
$-3z = 1$
$z = -\frac{1}{3}$
Таким образом, точка пересечения с осью Oz имеет координаты $(0, 0, -\frac{1}{3})$.
Ответ: $(0, 0, -\frac{1}{3})$.

24.5. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку $M(-1; 2; 1)$, с вектором нормали $\vec{n}$, имеющим координаты:

а) $(0; -5; 2)$;

б) $(6; -1; 3)$;

в) $(-4; -2; -1)$;

г) $(-3; -8; 0)$.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей вектор нормали $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

По условию задачи, плоскость проходит через точку $M(-1; 2; 1)$. Следовательно, $x_0 = -1$, $y_0 = 2$, $z_0 = 1$.

Подставим координаты точки $M$ в общее уравнение плоскости:

$A(x - (-1)) + B(y - 2) + C(z - 1) = 0$

$A(x + 1) + B(y - 2) + C(z - 1) = 0$

Теперь для каждого случая подставим координаты соответствующего вектора нормали $\vec{n} = (A; B; C)$.

а)Для вектора нормали $\vec{n} = (0; -5; 2)$, имеем $A=0$, $B=-5$, $C=2$. Подставляем эти значения в уравнение:$0 \cdot (x + 1) + (-5) \cdot (y - 2) + 2 \cdot (z - 1) = 0$$0 - 5(y - 2) + 2(z - 1) = 0$$-5y + 10 + 2z - 2 = 0$$-5y + 2z + 8 = 0$Для удобства можно умножить обе части уравнения на $-1$:$5y - 2z - 8 = 0$Ответ: $5y - 2z - 8 = 0$.

б)Для вектора нормали $\vec{n} = (6; -1; 3)$, имеем $A=6$, $B=-1$, $C=3$. Подставляем эти значения в уравнение:$6(x + 1) + (-1)(y - 2) + 3(z - 1) = 0$$6x + 6 - y + 2 + 3z - 3 = 0$Приводим подобные члены:$6x - y + 3z + 5 = 0$Ответ: $6x - y + 3z + 5 = 0$.

в)Для вектора нормали $\vec{n} = (-4; -2; -1)$, имеем $A=-4$, $B=-2$, $C=-1$. Подставляем эти значения в уравнение:$-4(x + 1) + (-2)(y - 2) + (-1)(z - 1) = 0$$-4x - 4 - 2y + 4 - z + 1 = 0$Приводим подобные члены:$-4x - 2y - z + 1 = 0$Умножим обе части уравнения на $-1$:$4x + 2y + z - 1 = 0$Ответ: $4x + 2y + z - 1 = 0$.

г)Для вектора нормали $\vec{n} = (-3; -8; 0)$, имеем $A=-3$, $B=-8$, $C=0$. Подставляем эти значения в уравнение:$-3(x + 1) + (-8)(y - 2) + 0 \cdot (z - 1) = 0$$-3x - 3 - 8y + 16 = 0$Приводим подобные члены:$-3x - 8y + 13 = 0$Умножим обе части уравнения на $-1$:$3x + 8y - 13 = 0$Ответ: $3x + 8y - 13 = 0$.

24.6. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вершина $D$ — начало координат, ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно (рис. 24.3).

Напишите уравнения плоскостей, содержащих грани этого куба.

Рис. 24.3

По условию задачи, вершина $D$ единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ совпадает с началом координат, а ребра $DC$, $DA$ и $DD_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Так как куб единичный, длина его ребра равна 1. Определим координаты всех вершин куба:
$D(0, 0, 0)$
$C(1, 0, 0)$
$A(0, 1, 0)$
$D_1(0, 0, 1)$
$B(1, 1, 0)$
$A_1(0, 1, 1)$
$C_1(1, 0, 1)$
$B_1(1, 1, 1)$
Теперь напишем уравнения для шести плоскостей, содержащих грани куба. Уравнение плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей, имеет очень простой вид.

Плоскость грани ABCD
Эта грань (нижнее основание) содержит вершины $A(0, 1, 0)$, $B(1, 1, 0)$, $C(1, 0, 0)$ и $D(0, 0, 0)$. У всех этих точек координата $z$ равна 0. Следовательно, эта грань лежит в координатной плоскости $Oxy$.
Ответ: $z = 0$.

Плоскость грани A₁B₁C₁D₁
Эта грань (верхнее основание) параллельна грани $ABCD$ и смещена от нее на 1 по оси $Oz$. Все ее вершины, $A_1(0, 1, 1)$, $B_1(1, 1, 1)$, $C_1(1, 0, 1)$ и $D_1(0, 0, 1)$, имеют координату $z=1$.
Ответ: $z = 1$.

Плоскость грани ADD₁A₁
Эта грань (левая боковая грань, лежащая в плоскости $Oyz$) содержит вершины $A(0, 1, 0)$, $D(0, 0, 0)$, $D_1(0, 0, 1)$ и $A_1(0, 1, 1)$. У всех этих точек координата $x$ равна 0.
Ответ: $x = 0$.

Плоскость грани BCC₁B₁
Эта грань (правая боковая грань) параллельна грани $ADD_1A_1$ и смещена от нее на 1 по оси $Ox$. Все ее вершины, $B(1, 1, 0)$, $C(1, 0, 0)$, $C_1(1, 0, 1)$ и $B_1(1, 1, 1)$, имеют координату $x=1$.
Ответ: $x = 1$.

Плоскость грани DCC₁D₁
Эта грань (передняя боковая грань, лежащая в плоскости $Oxz$) содержит вершины $D(0, 0, 0)$, $C(1, 0, 0)$, $C_1(1, 0, 1)$ и $D_1(0, 0, 1)$. У всех этих точек координата $y$ равна 0.
Ответ: $y = 0$.

Плоскость грани ABB₁A₁
Эта грань (задняя боковая грань) параллельна грани $DCC_1D_1$ и смещена от нее на 1 по оси $Oy$. Все ее вершины, $A(0, 1, 0)$, $B(1, 1, 0)$, $B_1(1, 1, 1)$ и $A_1(0, 1, 1)$, имеют координату $y=1$.
Ответ: $y = 1$.

24.7. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(1; -2; 4)$ и параллельна координатной плоскости:

а) $Oxy$;

б) $Oxz$;

в) $Oyz$.

а)

Требуется найти уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(1; -2; 4)$ и параллельна координатной плоскости $Oxy$.

Уравнение координатной плоскости $Oxy$ имеет вид $z = 0$. Любая плоскость, параллельная плоскости $Oxy$, имеет уравнение вида $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$, где нормальный вектор $\vec{n}=(A, B, C)$ параллелен нормальному вектору плоскости $Oxy$. Нормальный вектор плоскости $z=0$ — это $\vec{k}=(0, 0, 1)$.

Следовательно, нормальный вектор искомой плоскости можно принять равным $\vec{n}=(0, 0, 1)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ с нормальным вектором $\vec{n}=(A, B, C)$, имеет вид:

$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

Подставим координаты точки $M(1; -2; 4)$ и нормального вектора $\vec{n}=(0, 0, 1)$:

$0 \cdot (x - 1) + 0 \cdot (y - (-2)) + 1 \cdot (z - 4) = 0$

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

$0 + 0 + z - 4 = 0$

$z - 4 = 0$

Другой способ рассуждения: если плоскость параллельна плоскости $Oxy$, то все ее точки имеют одинаковую координату $z$. Поскольку плоскость проходит через точку $M(1; -2; 4)$, то для всех точек этой плоскости координата $z$ должна быть равна 4. Отсюда уравнение плоскости $z = 4$.

Ответ: $z - 4 = 0$.

б)

Требуется найти уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(1; -2; 4)$ и параллельна координатной плоскости $Oxz$.

Уравнение координатной плоскости $Oxz$ имеет вид $y = 0$. Ее нормальный вектор — $\vec{j}=(0, 1, 0)$.

Поскольку искомая плоскость параллельна плоскости $Oxz$, ее нормальный вектор $\vec{n}$ можно принять равным $\vec{n}=(0, 1, 0)$.

Подставляем координаты точки $M(1; -2; 4)$ и нормального вектора $\vec{n}=(0, 1, 0)$ в общее уравнение плоскости:

$0 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - (-2)) + 0 \cdot (z - 4) = 0$

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

$0 + y + 2 + 0 = 0$

$y + 2 = 0$

Другой способ рассуждения: если плоскость параллельна плоскости $Oxz$, то все ее точки имеют одинаковую координату $y$. Поскольку плоскость проходит через точку $M(1; -2; 4)$, то для всех точек этой плоскости координата $y$ должна быть равна -2. Отсюда уравнение плоскости $y = -2$.

Ответ: $y + 2 = 0$.

в)

Требуется найти уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(1; -2; 4)$ и параллельна координатной плоскости $Oyz$.

Уравнение координатной плоскости $Oyz$ имеет вид $x = 0$. Ее нормальный вектор — $\vec{i}=(1, 0, 0)$.

Поскольку искомая плоскость параллельна плоскости $Oyz$, ее нормальный вектор $\vec{n}$ можно принять равным $\vec{n}=(1, 0, 0)$.

Подставляем координаты точки $M(1; -2; 4)$ и нормального вектора $\vec{n}=(1, 0, 0)$ в общее уравнение плоскости:

$1 \cdot (x - 1) + 0 \cdot (y - (-2)) + 0 \cdot (z - 4) = 0$

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

$x - 1 + 0 + 0 = 0$

$x - 1 = 0$

Другой способ рассуждения: если плоскость параллельна плоскости $Oyz$, то все ее точки имеют одинаковую координату $x$. Поскольку плоскость проходит через точку $M(1; -2; 4)$, то для всех точек этой плоскости координата $x$ должна быть равна 1. Отсюда уравнение плоскости $x = 1$.

Ответ: $x - 1 = 0$.

24.8. Определите, какие из перечисленных ниже пар плоскостей параллельны между собой:

а) $x + y + z - 1 = 0$, $x + y + z + 1 = 0$;

б) $x + y + z - 1 = 0$, $x + y - z - 1 = 0$;

в) $-7x + y + 2z = 0$, $7x - y - 2z - 5 = 0$;

г) $2x + 4y + 6z - 8 = 0$, $-x - 2y - 3z + 4 = 0$.

Две плоскости, заданные общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, параллельны, если их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ коллинеарны. Условие коллинеарности векторов заключается в пропорциональности их соответствующих координат: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = k$.
Если при этом выполняется и условие $\frac{D_1}{D_2} = k$, то плоскости совпадают. Если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$, то плоскости параллельны, но не совпадают. Совпадающие плоскости являются частным случаем параллельных плоскостей.

а) Даны плоскости $x + y + z - 1 = 0$ и $x + y + z + 1 = 0$.
Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$ и $D_1 = -1$.
Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, 1, 1)$ и $D_2 = 1$.
Проверим соотношение коэффициентов при переменных:
$\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1$.
Коэффициенты пропорциональны ($k=1$), следовательно, нормальные векторы коллинеарны, а плоскости параллельны.
Проверим соотношение свободных членов: $\frac{D_1}{D_2} = \frac{-1}{1} = -1$.
Так как $k=1 \neq -1$, плоскости не совпадают.
Ответ: плоскости параллельны.

б) Даны плоскости $x + y + z - 1 = 0$ и $x + y - z - 1 = 0$.
Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.
Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, 1, -1)$.
Проверим соотношение коэффициентов при переменных:
$\frac{1}{1} = 1$, $\frac{1}{1} = 1$, $\frac{1}{-1} = -1$.
Так как $1 \neq -1$, условие пропорциональности не выполняется. Нормальные векторы не коллинеарны.
Ответ: плоскости не параллельны.

в) Даны плоскости $-7x + y + 2z = 0$ и $7x - y - 2z - 5 = 0$.
Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (-7, 1, 2)$ и $D_1 = 0$.
Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (7, -1, -2)$ и $D_2 = -5$.
Проверим соотношение коэффициентов при переменных:
$\frac{-7}{7} = -1$, $\frac{1}{-1} = -1$, $\frac{2}{-2} = -1$.
Коэффициенты пропорциональны ($k=-1$), следовательно, нормальные векторы коллинеарны, а плоскости параллельны.
Проверим соотношение свободных членов: $\frac{D_1}{D_2} = \frac{0}{-5} = 0$.
Так как $k=-1 \neq 0$, плоскости не совпадают.
Ответ: плоскости параллельны.

г) Даны плоскости $2x + 4y + 6z - 8 = 0$ и $-x - 2y - 3z + 4 = 0$.
Для первой плоскости имеем $A_1=2, B_1=4, C_1=6, D_1=-8$.
Для второй плоскости имеем $A_2=-1, B_2=-2, C_2=-3, D_2=4$.
Проверим соотношение коэффициентов при переменных:
$\frac{2}{-1} = -2$, $\frac{4}{-2} = -2$, $\frac{6}{-3} = -2$.
Коэффициенты пропорциональны ($k=-2$), следовательно, нормальные векторы коллинеарны, а плоскости параллельны.
Проверим соотношение свободных членов: $\frac{D_1}{D_2} = \frac{-8}{4} = -2$.
Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2} = -2$, то плоскости совпадают.
Ответ: плоскости совпадают, следовательно, они параллельны.

24.9. Перпендикулярны ли плоскости:

а) $y + z + 1 = 0$ и $y - z + 1 = 0$;

б) $2x - 5y + z + 4 = 0$ и $3x + 2y + 4z - 1 = 0$;

в) $7x - y + 9 = 0$ и $y + 2z - 3 = 0$?

Для того чтобы определить, перпендикулярны ли две плоскости, необходимо проверить, перпендикулярны ли их нормальные векторы. Две плоскости, заданные уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их нормальных векторов $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ равно нулю.

Условие перпендикулярности: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$.

Проверим это условие для каждой пары плоскостей.

а) $y + z + 1 = 0$ и $y - z + 1 = 0$

Запишем уравнения в общем виде, чтобы найти нормальные векторы:

Плоскость 1: $0x + 1y + 1z + 1 = 0$. Нормальный вектор $\vec{n_1} = (0, 1, 1)$.

Плоскость 2: $0x + 1y - 1z + 1 = 0$. Нормальный вектор $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(0) + (1)(1) + (1)(-1) = 0 + 1 - 1 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, нормальные векторы перпендикулярны, следовательно, и плоскости перпендикулярны.

Ответ: да, перпендикулярны.

б) $2x - 5y + z + 4 = 0$ и $3x + 2y + 4z - 1 = 0$

Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (2, -5, 1)$.

Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (3, 2, 4)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(3) + (-5)(2) + (1)(4) = 6 - 10 + 4 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, плоскости перпендикулярны.

Ответ: да, перпендикулярны.

в) $7x - y + 9 = 0$ и $y + 2z - 3 = 0$

Запишем уравнения в общем виде, чтобы найти нормальные векторы:

Плоскость 1: $7x - 1y + 0z + 9 = 0$. Нормальный вектор $\vec{n_1} = (7, -1, 0)$.

Плоскость 2: $0x + 1y + 2z - 3 = 0$. Нормальный вектор $\vec{n_2} = (0, 1, 2)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (7)(0) + (-1)(1) + (0)(2) = 0 - 1 + 0 = -1$.

Так как скалярное произведение не равно нулю ($-1 \ne 0$), плоскости не являются перпендикулярными.

Ответ: нет, не перпендикулярны.

24.10. Найдите косинус угла между плоскостями, заданными уравнениями:

a) $x + y + z + 1 = 0, x + y - z - 1 = 0;$

б) $2x + 3y + 6z - 5 = 0, 4x + 4y + 2z - 7 = 0.$

Угол $\phi$ между двумя плоскостями, заданными общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, равен углу между их нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$. Косинус этого угла (обычно берется острый угол) вычисляется по формуле:
$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

а) Даны плоскости $x + y + z + 1 = 0$ и $x + y - z - 1 = 0$.
Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.
Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (1, 1, -1)$.
Найдем скалярное произведение нормальных векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 + 1 - 1 = 1$.
Найдем длины (модули) нормальных векторов:
$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
Теперь найдем косинус угла между плоскостями:
$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Даны плоскости $2x + 3y + 6z - 5 = 0$ и $4x + 4y + 2z - 7 = 0$.
Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (2, 3, 6)$.
Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (4, 4, 2)$.
Найдем скалярное произведение нормальных векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 + 6 \cdot 2 = 8 + 12 + 12 = 32$.
Найдем длины (модули) нормальных векторов:
$|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$.
Теперь найдем косинус угла между плоскостями:
$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|32|}{7 \cdot 6} = \frac{32}{42} = \frac{16}{21}$.
Ответ: $\frac{16}{21}$.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора $\overline{AB} + \overline{AD} + \overline{AA_1}$:

А. 1. B. 2. C. $\sqrt{2}$. D. $\sqrt{3}$.

2. Найдите координаты ортогональной проекции точки A(-5; 6; -7) на плоскость Oyz:

А. (0; 6; -7). B. (-5; 0; -7). C. (-5; 6; 0). D. (-5; 0; 0).

3. Найдите расстояние от точки B(3; -8; -11) до плоскости Oxy:

А. -11. B. 11. C. 3. D. 8.

4. На каком расстоянии от оси Oz находится точка C(1; -5; 6):

А. 5. B. $2\sqrt{13}$. C. 6. D. $\sqrt{26}$?

5. Найдите расстояние между точками E(-1; 0; 4) и F(2; -5; 1):

А. $5\sqrt{18}$. B. $\sqrt{51}$. C. $\sqrt{43}$. D. $\sqrt{59}$.

6. Найдите координаты середины отрезка GH, если G(3; -2; 0), H(0; -12; 5):

А. $(\frac{3}{2}; -5; 5)$. B. $(3; -7; -\frac{5}{2})$. C. $(\frac{3}{2}; -7; \frac{5}{2})$. D. $(-3; 7; -\frac{5}{2})$.

7. Найдите координаты центра сферы, заданной уравнением $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z + 1 = 0$:

А. (1; -1; 2). B. (1; 2; -1). C. (0; -1; 2). D. (0; 1; -2).

8. Найдите координаты вектора $\overline{IJ}$, если I(5; -1; 2), J(3; -2; 0):

А. (2; -1; 2). B. (-2; -1; 2). C. (2; -3; 2). D. (-2; -1; -2).

9. Найдите длину вектора $\overline{KL}$, если K(0; -1; 2), L(-3; 5; 0):

А. $\sqrt{29}$. B. 7. C. 5. D. $2\sqrt{7}$.

10. Найдите длину вектора $5\overline{i} - \overline{j} + 2\overline{k}$:

А. 36. B. 6. C. $\sqrt{30}$. D. $2\sqrt{7}$.

11. Найдите скалярное произведение векторов $\overline{a}(-5; 6; 1)$ и $\overline{b}(0; -9; 7)$:

А. -52. B. 47. C. -47. D. -56.

12. При каком значении k векторы $2\overline{a} - k\overline{b}$ и $\overline{a} + \overline{b}$ перпендикулярны, если $\overline{a}(0; 1; -2)$ и $\overline{b}(2; 0; 1)$:

А. 2. B. $3\frac{1}{2}$. C. $-3\frac{1}{2}$. D. Нет решения?

13*. Точка M(2; 1; m) принадлежит плоскости $3x - y + 2z - 1 = 0$. Найдите m:

А. 3. B. -3. C. 2. D. -2.

14*. Найдите уравнение плоскости, параллельной плоскости $4x - 5y + 2z + 11 = 0$ и проходящей через точку P(3; -2; -4):

А. $4x - 5y + 2z - 10 = 0$. B. $8x - 10y + 4z + 22 = 0$. C. $4x - 5y + 2z + 14 = 0$. D. $4x - 5y + 2z - 14 = 0$.

15*. Определите, какая фигура в пространстве задается уравнением $y^2 + z^2 = 0$:

А. Плоскость Oyz. B. Ось Ox. C. Оси Oy и Oz. D. Плоскости Oxy и Oxz.

1. В единичном кубе ребра, выходящие из одной вершины, например A, взаимно перпендикулярны. Если принять точку А за начало координат, а ребра $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$ направить вдоль осей координат, то их координаты будут $\vec{AB} = (1, 0, 0)$, $\vec{AD} = (0, 1, 0)$ и $\vec{AA_1} = (0, 0, 1)$ (в другой системе координат, но это не повлияет на длину). Сумма этих векторов, согласно правилу параллелепипеда, равна вектору диагонали куба, выходящей из той же вершины, то есть вектору $\vec{AC_1}$. Координаты суммарного вектора $\vec{v} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = (1, 1, 1)$. Длина этого вектора вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$. Ответ: D. $\sqrt{3}$.

2. Ортогональная проекция точки на координатную плоскость Oyz означает, что координата, соответствующая оси, перпендикулярной этой плоскости (в данном случае, ось Ox), становится равной нулю, а остальные координаты остаются без изменений. Для точки A(-5; 6; -7) ее проекцией на плоскость Oyz будет точка с координатами (0; 6; -7). Ответ: A. (0; 6; -7).

3. Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости Oxy (уравнение которой $z=0$) равно модулю ее аппликаты (координаты z). Для точки B(3; -8; -11) расстояние до плоскости Oxy равно $|-11| = 11$. Ответ: B. 11.

4. Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до оси Oz вычисляется как расстояние между самой точкой и ее проекцией на эту ось, которая имеет координаты $(0, 0, z_0)$. Формула расстояния: $d = \sqrt{(x_0-0)^2 + (y_0-0)^2 + (z_0-z_0)^2} = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$. Для точки C(1; -5; 6) расстояние до оси Oz равно $\sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$. Ответ: D. $\sqrt{26}$?.

5. Расстояние между двумя точками $E(x_1, y_1, z_1)$ и $F(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве находится по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$. Подставляем координаты точек E(-1; 0; 4) и F(2; -5; 1): $d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-5 - 0)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$. Ответ: C. $\sqrt{43}$.

6. Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов. Для отрезка GH с концами G(3; -2; 0) и H(0; -12; 5) координаты середины M будут: $x_M = \frac{3+0}{2} = \frac{3}{2}$, $y_M = \frac{-2 + (-12)}{2} = \frac{-14}{2} = -7$, $z_M = \frac{0+5}{2} = \frac{5}{2}$. Таким образом, координаты середины отрезка GH равны $(\frac{3}{2}; -7; \frac{5}{2})$. Ответ: C. $(\frac{3}{2}; -7; \frac{5}{2})$.

7. Чтобы найти центр сферы, приведем ее уравнение к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, где $(a, b, c)$ — координаты центра. Для этого сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты: $x^2 + (y^2 + 2y) + (z^2 - 4z) + 1 = 0$ $x^2 + (y^2 + 2y + 1) - 1 + (z^2 - 4z + 4) - 4 + 1 = 0$ $x^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 - 4 = 0$ $(x-0)^2 + (y-(-1))^2 + (z-2)^2 = 4$. Из канонического уравнения видно, что центр сферы находится в точке (0; -1; 2). Ответ: C. (0; -1; 2).

8. Координаты вектора, заданного двумя точками, находятся путем вычитания соответствующих координат начальной точки из координат конечной точки. Для вектора $\vec{IJ}$ с началом в точке I(5; -1; 2) и концом в точке J(3; -2; 0) имеем: $\vec{IJ} = (3-5; -2-(-1); 0-2) = (-2; -1; -2)$. Ответ: D. (-2; -1; -2).

9. Сначала найдем координаты вектора $\vec{KL}$, вычитая из координат точки L координаты точки K: $\vec{KL} = (-3-0; 5-(-1); 0-2) = (-3; 6; -2)$. Длина (модуль) вектора $\vec{v}=(x, y, z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. $|\vec{KL}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$. Ответ: B. 7.

10. Вектор $5\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}$ имеет координаты $(5; -1; 2)$. Его длина вычисляется по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}$. Ответ: C. $\sqrt{30}$.

11. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b}(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$. Для векторов $\vec{a}(-5; 6; 1)$ и $\vec{b}(0; -9; 7)$ имеем: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-5) \cdot 0 + 6 \cdot (-9) + 1 \cdot 7 = 0 - 54 + 7 = -47$. Ответ: C. -47.

12. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Сначала найдем координаты векторов $2\vec{a} - k\vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$. $\vec{a}(0; 1; -2)$, $\vec{b}(2; 0; 1)$. $2\vec{a} = (0; 2; -4)$, $k\vec{b} = (2k; 0; k)$. $2\vec{a} - k\vec{b} = (0-2k; 2-0; -4-k) = (-2k; 2; -4-k)$. $\vec{a} + \vec{b} = (0+2; 1+0; -2+1) = (2; 1; -1)$. Теперь найдем их скалярное произведение и приравняем к нулю: $(-2k) \cdot 2 + 2 \cdot 1 + (-4-k) \cdot (-1) = 0$ $-4k + 2 + 4 + k = 0$ $-3k + 6 = 0$ $3k = 6$ $k = 2$. Ответ: A. 2.

13*. Если точка M(2; 1; m) принадлежит плоскости, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости. Подставим координаты точки в уравнение $3x - y + 2z - 1 = 0$: $3(2) - 1 + 2(m) - 1 = 0$ $6 - 1 + 2m - 1 = 0$ $4 + 2m = 0$ $2m = -4$ $m = -2$. Ответ: D. -2.

14*. Плоскость, параллельная данной плоскости $4x - 5y + 2z + 11 = 0$, имеет уравнение вида $4x - 5y + 2z + D = 0$, так как у них один и тот же нормальный вектор $(4; -5; 2)$. Чтобы найти коэффициент D, подставим в это уравнение координаты точки P(3; -2; -4), через которую проходит искомая плоскость: $4(3) - 5(-2) + 2(-4) + D = 0$ $12 + 10 - 8 + D = 0$ $14 + D = 0$ $D = -14$. Следовательно, уравнение искомой плоскости: $4x - 5y + 2z - 14 = 0$. Ответ: D. $4x - 5y + 2z - 14 = 0$.

15*. Уравнение $y^2 + z^2 = 0$ в трехмерном пространстве. Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, это уравнение эквивалентно системе двух уравнений: $y = 0$ $z = 0$. Координата $x$ при этом может принимать любое действительное значение. Множество всех точек вида $(x, 0, 0)$ образует ось абсцисс, то есть ось Ox. Ответ: B. Ось Ox.