Страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

28. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, точка $D$ — середина ребра $BC$. Найдите угол между прямыми $CB_1$ и $AD$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AD$ и $CB_1$ можно воспользоваться двумя способами: геометрическим и координатно-векторным.

Геометрический способ

Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной, ее основание, треугольник $ABC$, является равносторонним, а боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Точка $D$ — середина ребра $BC$.

В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $AD$ является также и высотой. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна прямой $BC$, то есть $AD \perp BC$.

Боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что ребро $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AD$ лежит в плоскости $ABC$, следовательно, $AD \perp BB_1$.

Мы установили, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BB_1$) в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $BCC_1B_1$.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $CB_1$ полностью лежит в плоскости $BCC_1B_1$. Отсюда следует, что $AD \perp CB_1$. Таким образом, угол между прямыми $AD$ и $CB_1$ равен $90^\circ$.

Координатно-векторный способ

Введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат совпадает с точкой $D$. Направим ось $Ox$ вдоль прямой $DC$, ось $Oy$ — вдоль прямой $DA$, а ось $Oz$ — перпендикулярно плоскости $ABC$ (вдоль высоты призмы).

По условию, все ребра призмы равны 1. Найдем координаты необходимых для решения точек.
- $D$ — начало координат, ее координаты $D(0, 0, 0)$.
- $D$ — середина $BC$ и $BC=1$, значит $DC = DB = 1/2$. Точки $B$ и $C$ лежат на оси $Ox$, следовательно, их координаты: $C(1/2, 0, 0)$ и $B(-1/2, 0, 0)$.
- $AD$ — это высота в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной 1. Ее длина равна $h = \sqrt{AC^2 - DC^2} = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Точка $A$ лежит на оси $Oy$, ее координаты: $A(0, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
- Точка $B_1$ получается из точки $B$ сдвигом вдоль оси $Oz$ на высоту призмы, равную 1. Координаты точки $B_1(-1/2, 0, 1)$.

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым $AD$ и $CB_1$.
- Вектор $\vec{AD}$ имеет координаты, совпадающие с координатами точки $A$: $\vec{AD} = (0, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
- Вектор $\vec{CB_1}$ найдем как разность координат его конца и начала: $\vec{CB_1} = (-1/2 - 1/2, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$.

Угол $\alpha$ между прямыми можно найти через косинус угла между их направляющими векторами по формуле:$ \cos \alpha = \frac{|\vec{AD} \cdot \vec{CB_1}|}{|\vec{AD}| \cdot |\vec{CB_1}|} $

Найдем скалярное произведение векторов:$ \vec{AD} \cdot \vec{CB_1} = 0 \cdot (-1) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 $.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны (ортогональны). Следовательно, угол между прямыми $AD$ и $CB_1$ составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

29. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла $AC_1B$.

По условию, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основаниях лежат равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со стороной 1, а боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ равны 1 и перпендикулярны основаниям. Боковые грани призмы являются квадратами со стороной 1.

Требуется найти косинус угла $AC_1B$. Этот угол находится в треугольнике $AC_1B$. Для нахождения косинуса угла воспользуемся теоремой косинусов. Для треугольника $AC_1B$ она выглядит так:

$AB^2 = AC_1^2 + BC_1^2 - 2 \cdot AC_1 \cdot BC_1 \cdot \cos(\angle AC_1B)$

Для применения этой теоремы нам необходимо найти длины всех трех сторон треугольника $AC_1B$.

1. Найдем длину стороны $AB$.
Сторона $AB$ является ребром основания призмы. По условию, все ребра равны 1. Следовательно, $AB = 1$.

2. Найдем длину стороны $AC_1$.
Отрезок $AC_1$ является диагональю боковой грани $AA_1C_1C$. Эта грань – квадрат, так как $AC = 1$ (ребро основания) и $CC_1 = 1$ (боковое ребро). Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$ (угол $\angle ACC_1 = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

Следовательно, $AC_1 = \sqrt{2}$.

3. Найдем длину стороны $BC_1$.
Аналогично, отрезок $BC_1$ является диагональю боковой грани $BB_1C_1C$, которая также является квадратом со стороной 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$ (угол $\angle BCC_1 = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

Следовательно, $BC_1 = \sqrt{2}$.

Теперь, когда мы знаем длины всех сторон треугольника $AC_1B$ ($AB = 1$, $AC_1 = \sqrt{2}$, $BC_1 = \sqrt{2}$), подставим эти значения в формулу теоремы косинусов:

$1^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\angle AC_1B)$

$1 = 2 + 2 - 2 \cdot 2 \cdot \cos(\angle AC_1B)$

$1 = 4 - 4 \cos(\angle AC_1B)$

Теперь выразим косинус искомого угла:

$4 \cos(\angle AC_1B) = 4 - 1$

$4 \cos(\angle AC_1B) = 3$

$\cos(\angle AC_1B) = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

30. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $SB$ и $AC$.

31. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми SB и AC в правильной четырехугольной пирамиде SABCD воспользуемся геометрическим подходом, основанным на перпендикулярности прямой и плоскости.

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD квадрата ABCD, лежащего в основании пирамиды. Поскольку пирамида SABCD является правильной, ее вершина S проецируется в центр основания O. Следовательно, отрезок SO является высотой пирамиды.

1. В основании пирамиды лежит квадрат ABCD. По свойству диагоналей квадрата, они пересекаются под прямым углом. Таким образом, диагональ AC перпендикулярна диагонали BD.

$AC \perp BD$

2. Так как SO — высота правильной пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания (ABCD). Это означает, что прямая SO перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, SO перпендикулярна прямой AC.

$SO \perp AC$

3. Мы имеем две пересекающиеся прямые, BD и SO, которые вместе образуют плоскость SBD. Обе эти прямые перпендикулярны прямой AC.

4. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая (в нашем случае AC) перпендикулярна двум пересекающимся прямым (BD и SO), лежащим в некоторой плоскости (SBD), то она перпендикулярна и самой этой плоскости.

5. Таким образом, прямая AC перпендикулярна плоскости SBD.

6. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Боковое ребро SB принадлежит плоскости SBD.

Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой SB, и угол между ними равен $90^\circ$.

Условие о том, что все ребра равны 1, является избыточным для нахождения величины угла, но оно подтверждает, что данная конфигурация пирамиды возможна. Результат был бы таким же для любой правильной четырехугольной пирамиды.

Ответ: $90^\circ$.

31. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, точки $E$, $F$ $-$ середины ребер соответственно $AB$, $BC$. Найдите угол между прямыми $SA$ и $EF$.

По условию задачи дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, все ребра которой равны 1. Это означает, что в основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$ со стороной 1, а боковые ребра $SA, SB, SC, SD$ также равны 1. Точки $E$ и $F$ являются серединами ребер $AB$ и $BC$ соответственно. Требуется найти угол между прямыми $SA$ и $EF$.

Прямые $SA$ и $EF$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не параллельны. Угол между скрещивающимися прямыми по определению равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Рассмотрим треугольник $ABC$, лежащий в основании пирамиды. Поскольку $E$ — середина стороны $AB$ и $F$ — середина стороны $BC$, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне, то есть $EF \parallel AC$.

Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $SA$ и $EF$ равен углу между пересекающимися прямыми $SA$ и $AC$. Эти прямые пересекаются в точке $A$, значит, искомый угол равен углу $\angle SAC$.

Чтобы найти величину угла $\angle SAC$, рассмотрим треугольник $SAC$. Найдем длины его сторон:
1. $SA = 1$ (по условию, ребро пирамиды).
2. $SC = 1$ (по условию, ребро пирамиды).
3. $AC$ — диагональ квадрата $ABCD$ со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Отсюда $AC = \sqrt{2}$.

В треугольнике $SAC$ известны длины всех трех сторон: $SA = 1$, $SC = 1$ и $AC = \sqrt{2}$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов для нахождения угла $\angle SAC$:
$SC^2 = SA^2 + AC^2 - 2 \cdot SA \cdot AC \cdot \cos(\angle SAC)$
Подставим известные значения:
$1^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\angle SAC)$
$1 = 1 + 2 - 2\sqrt{2} \cos(\angle SAC)$
$1 = 3 - 2\sqrt{2} \cos(\angle SAC)$
$2\sqrt{2} \cos(\angle SAC) = 3 - 1$
$2\sqrt{2} \cos(\angle SAC) = 2$
$\cos(\angle SAC) = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$.Следовательно, $\angle SAC = 45^\circ$.Так как искомый угол между прямыми $SA$ и $EF$ равен углу $\angle SAC$, он равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

32.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми AD и BE воспользуемся методом параллельного переноса одной из прямых.

По условию, SABCD — правильная четырехугольная пирамида. Это означает, что в ее основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат ABCD. В квадрате противолежащие стороны параллельны, следовательно, прямая AD параллельна прямой BC ($AD \parallel BC$).

Угол между скрещивающимися прямыми AD и BE по определению равен углу между пересекающимися прямыми BC и BE. Эти прямые образуют угол $ \angle EBC $, который мы и будем искать.

Рассмотрим боковую грань пирамиды — треугольник $ \triangle SBC $. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Значит, стороны этого треугольника равны: $SB = BC = SC = 1$. Следовательно, треугольник $ \triangle SBC $ является равносторонним.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. В частности, $ \angle SBC = 60^\circ $.

Точка E является серединой ребра SC. Таким образом, отрезок BE — это медиана треугольника $ \triangle SBC $, проведенная из вершины B к стороне SC.

В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к любой из сторон, является также биссектрисой и высотой. Поскольку BE — биссектриса угла $ \angle SBC $, она делит этот угол пополам.

Таким образом, величина искомого угла $ \angle EBC $ равна:$ \angle EBC = \frac{1}{2} \cdot \angle SBC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ $

Следовательно, угол между прямыми AD и BE составляет $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол $ABD_1$.

Для нахождения угла $ABD_1$ в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ рассмотрим треугольник $\triangle ABD_1$. Чтобы найти угол, воспользуемся теоремой косинусов, для чего предварительно вычислим длины всех трех сторон этого треугольника: $AB$, $BD_1$ и $AD_1$.

По условию задачи, все ребра призмы равны 1. Таким образом, длина стороны основания $AB$ равна 1.

Теперь найдем длину пространственной диагонали $BD_1$. Эта диагональ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle BDD_1$, так как боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания. Длина катета $DD_1$ равна 1. Длину катета $BD$, который является малой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$ в основании, найдем из треугольника $\triangle BCD$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$, значит $\angle BCD = 120^\circ$. По теореме косинусов для $\triangle BCD$ имеем:$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ)$$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$Отсюда $BD = \sqrt{3}$.Теперь можем найти $BD_1$ по теореме Пифагора для $\triangle BDD_1$:$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$Следовательно, $BD_1 = \sqrt{4} = 2$.

Далее найдем длину пространственной диагонали $AD_1$. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle ADD_1$. Катет $DD_1 = 1$. Катет $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника в основании. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны, поэтому $AD = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$.По теореме Пифагора для $\triangle ADD_1$:$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$Следовательно, $AD_1 = \sqrt{5}$.

Мы нашли все стороны треугольника $\triangle ABD_1$: $AB = 1$, $BD_1 = 2$ и $AD_1 = \sqrt{5}$. Пусть искомый угол $\angle ABD_1 = \alpha$. Применим теорему косинусов к $\triangle ABD_1$:$AD_1^2 = AB^2 + BD_1^2 - 2 \cdot AB \cdot BD_1 \cdot \cos(\alpha)$Подставим найденные значения:$(\sqrt{5})^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos(\alpha)$$5 = 1 + 4 - 4\cos(\alpha)$$5 = 5 - 4\cos(\alpha)$$4\cos(\alpha) = 0$$\cos(\alpha) = 0$Из этого уравнения находим, что угол $\alpha = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

34. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла $ABE_1$.

Для решения задачи найдем длины сторон треугольника $ABE_1$. Тангенс угла $ABE_1$ можно будет найти из соотношений в этом треугольнике.

1. Найдем длину стороны AB.
Сторона $AB$ является ребром основания правильной шестиугольной призмы. По условию, все ребра призмы равны 1. Следовательно, $AB = 1$.

2. Найдем длину стороны AE₁.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AEE_1$, в котором катет $EE_1$ является боковым ребром призмы, а катет $AE$ — диагональю основания.Высота призмы $EE_1 = 1$.Длину диагонали $AE$ найдем из основания — правильного шестиугольника $ABCDEF$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Рассмотрим треугольник $AFE$. Он равнобедренный, так как $AF=FE=1$ (стороны шестиугольника). Угол $\angle AFE = 120^\circ$.По теореме косинусов для треугольника $AFE$:
$AE^2 = AF^2 + FE^2 - 2 \cdot AF \cdot FE \cdot \cos(120^\circ)$
$AE^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$
Отсюда $AE = \sqrt{3}$.Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $AEE_1$:
$AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$
Следовательно, $AE_1 = \sqrt{4} = 2$.

3. Найдем длину стороны BE₁.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BEE_1$, в котором катет $EE_1$ является боковым ребром призмы ($EE_1 = 1$), а катет $BE$ — большой диагональю основания.Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. В нашем случае $a=1$, поэтому $BE = 2 \cdot 1 = 2$.По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BEE_1$:
$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
Следовательно, $BE_1 = \sqrt{5}$.

4. Найдем тангенс угла ABE₁.
Мы нашли все стороны треугольника $ABE_1$: $AB = 1$, $AE_1 = 2$, $BE_1 = \sqrt{5}$.Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:
$AB^2 + AE_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$
$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$
Поскольку $AB^2 + AE_1^2 = BE_1^2$, треугольник $ABE_1$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $A$ ($\angle BAE_1 = 90^\circ$).В прямоугольном треугольнике $ABE_1$ тангенс угла $ABE_1$ равен отношению противолежащего катета $AE_1$ к прилежащему катету $AB$:
$\tan(\angle ABE_1) = \frac{AE_1}{AB} = \frac{2}{1} = 2$.

Ответ: 2

35. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $AC$ и $B_1F_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $B_1F_1$ воспользуемся методом параллельного переноса. Суть метода заключается в том, чтобы одну из прямых заменить на параллельную ей прямую, которая пересекает вторую. Угол между получившимися пересекающимися прямыми и будет искомым.

Рассмотрим основания призмы — правильные шестиугольники $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ диагональ $CE$ параллельна диагонали $BF$. Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основания параллельны, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Это означает, что четырехугольник $BFF_1B_1$ является прямоугольником, и, следовательно, прямая $B_1F_1$ параллельна прямой $BF$. Таким образом, прямая $B_1F_1$ параллельна прямой $CE$.

Это можно доказать и с помощью векторов. Если поместить центр основания в начало координат, то окажется, что векторы $\vec{B_1F_1}$ и $\vec{CE}$ равны, что доказывает их параллельность.

Итак, искомый угол между прямыми $AC$ и $B_1F_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AC$ и $CE$. Этот угол — $\angle ACE$ в треугольнике $ACE$, который лежит в плоскости нижнего основания.

Найдем длины сторон треугольника $ACE$. По условию, все ребра призмы равны 1, значит, и сторона основания (правильного шестиугольника) равна 1.

Сторона $AC$ является малой диагональю шестиугольника. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $AB = BC = 1$, а $\angle ABC = 120^\circ$ (внутренний угол правильного шестиугольника). По теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$

Отсюда $AC = \sqrt{3}$.

Аналогично, отрезки $CE$ (соединяет вершины $C$ и $E$ через одну, $D$) и $EA$ (соединяет вершины $E$ и $A$ через одну, $F$) также являются малыми диагоналями этого же правильного шестиугольника. Следовательно, их длины также равны $\sqrt{3}$.

$CE = \sqrt{3}$

$EA = \sqrt{3}$

Поскольку все три стороны треугольника $ACE$ равны ($AC = CE = EA = \sqrt{3}$), этот треугольник является равносторонним.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle ACE = 60^\circ$. Этот угол и является искомым углом между прямыми $AC$ и $B_1F_1$.

Ответ: $60^\circ$.

36. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $AC$ и $B_1 D_1$.

37. В

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $B_1D_1$ воспользуемся методом параллельного переноса. Прямая $AC$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$, а прямая $B_1D_1$ — в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Поскольку призма правильная, ее основания являются параллельными плоскостями, а верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получено из нижнего $ABCDEF$ параллельным переносом на вектор $\vec{AA_1}$. При этом переносе отрезок $BD$ переходит в отрезок $B_1D_1$. Следовательно, прямая $B_1D_1$ параллельна прямой $BD$.

Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $B_1D_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AC$ и $BD$, которые лежат в плоскости нижнего основания. Найдем этот угол.

Основанием призмы является правильный шестиугольник $ABCDEF$, все стороны которого по условию равны 1. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB = BC = 1$, он является равнобедренным. Угол при вершине $\angle ABC = 120^\circ$. Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Он также равнобедренный, так как $BC = CD = 1$, а угол при вершине $\angle BCD = 120^\circ$. Углы при основании равны: $\angle CBD = \angle CDB = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Пусть $P$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Рассмотрим треугольник $\triangle BPC$. В этом треугольнике нам известны два угла:

$\angle PCB = \angle BCA = 30^\circ$

$\angle PBC = \angle CBD = 30^\circ$

Следовательно, третий угол треугольника $\triangle BPC$ равен $\angle BPC = 180^\circ - (\angle PCB + \angle PBC) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$.

Угол между двумя пересекающимися прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении. В точке $P$ образуются два смежных угла: $\angle BPC = 120^\circ$ и угол, равный $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Наименьший из них равен $60^\circ$.

Таким образом, угол между прямыми $AC$ и $BD$ равен $60^\circ$, а значит, и угол между прямыми $AC$ и $B_1D_1$ также равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

37. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямыми $AB$ и $CF_1$.

Для нахождения тангенса угла между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CF_1$ воспользуемся методом координат.

Введем трехмерную декартову систему координат. Поместим начало координат $O$ в центр нижнего основания $ABCDEF$ призмы. Ось $Ox$ направим вдоль луча $OD$, а ось $Oy$ так, чтобы вершина $C$ имела положительную координату $y$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $DD_1$.

По условию, все ребра призмы равны 1. В основании лежит правильный шестиугольник со стороной 1. Расстояние от центра правильного шестиугольника до его вершин равно стороне шестиугольника, то есть 1.

Найдем координаты необходимых нам вершин:

Вершины нижнего основания ($z=0$):

• $A$: Угол с положительным направлением оси $Ox$ составляет $180^\circ$. Координаты $A(-1, 0, 0)$.
• $B$: Угол с положительным направлением оси $Ox$ составляет $120^\circ$. Координаты $B(\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• $C$: Угол с положительным направлением оси $Ox$ составляет $60^\circ$. Координаты $C(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• $F$: Угол с положительным направлением оси $Ox$ составляет $240^\circ$ или $-120^\circ$. Координаты $F(\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вершины верхнего основания ($z=1$):

• $F_1$: Имеет те же координаты $x$ и $y$, что и $F$, а координата $z=1$. Координаты $F_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым $AB$ и $CF_1$.

Направляющий вектор прямой $AB$ — это вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Направляющий вектор прямой $CF_1$ — это вектор $\vec{CF_1}$:

$\vec{CF_1} = (x_{F_1} - x_C, y_{F_1} - y_C, z_{F_1} - z_C) = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 1)$.

Угол $\alpha$ между прямыми можно найти через косинус угла между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CF_1}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{CF_1} = (\frac{1}{2}) \cdot (-1) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 1 = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -2$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

$|\vec{CF_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$.

Теперь вычислим косинус угла $\alpha$:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CF_1}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CF_1}|} = \frac{|-2|}{1 \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

Нам нужно найти тангенс угла. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Так как угол между прямыми острый, $\sin\alpha > 0$.

$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению синуса к косинусу:

$\tan \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $0.5$

38. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол $ACD_1$.

Для нахождения угла $ACD_1$ мы воспользуемся методом, основанным на нахождении длин сторон треугольника $ACD_1$ и последующем применении теоремы косинусов (или обратной теоремы Пифагора).

Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$) равна 1, и высота призмы (длина боковых ребер, например, $AA_1, DD_1$) также равна 1.

1. Найдем длину стороны AC.
Сторона AC — это малая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Рассмотрим треугольник $ABC$, который лежит в основании призмы. В этом треугольнике $AB = BC = 1$. Угол правильного шестиугольника $\angle ABC$ равен $120^\circ$.
По теореме косинусов для треугольника $ABC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$
$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 2 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$
Таким образом, $AC = \sqrt{3}$.

2. Найдем длину стороны CD₁.
Рассмотрим треугольник $CDD_1$. Так как призма правильная, боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и ребру $CD$, которое лежит в этой плоскости. Следовательно, треугольник $CDD_1$ является прямоугольным с прямым углом $\angle CDD_1$.
Катеты этого треугольника: $CD = 1$ (сторона основания) и $DD_1 = 1$ (боковое ребро).
По теореме Пифагора:
$CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
Таким образом, $CD_1 = \sqrt{2}$.

3. Найдем длину стороны AD₁.
Сначала найдем длину диагонали $AD$ в основании. $AD$ — это большая диагональ правильного шестиугольника. Ее длина в два раза больше длины стороны шестиугольника.$AD = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$ (угол $\angle ADD_1 = 90^\circ$, так как $DD_1$ перпендикулярно основанию).
Катеты: $AD = 2$ и $DD_1 = 1$.
По теореме Пифагора:
$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
Таким образом, $AD_1 = \sqrt{5}$.

4. Определим угол ACD₁.
Мы нашли все три стороны треугольника $ACD_1$: $AC = \sqrt{3}$, $CD_1 = \sqrt{2}$ и $AD_1 = \sqrt{5}$.
Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$
$AC^2 + CD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$
Так как $AD_1^2 = AC^2 + CD_1^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $ACD_1$ является прямоугольным. Прямой угол лежит напротив самой длинной стороны (гипотенузы) $AD_1$. Этот угол — $\angle ACD_1$.
Следовательно, $\angle ACD_1 = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

39. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол $AC_1 D_1$.

Для нахождения искомого угла $AC_1D_1$ рассмотрим треугольник $AC_1D_1$. Чтобы найти величину этого угла, определим длины всех трех сторон треугольника, а затем воспользуемся теоремой косинусов.

Сторона $C_1D_1$ является ребром верхнего основания правильной шестиугольной призмы. По условию, все ребра призмы равны 1, следовательно, $C_1D_1 = 1$.

Чтобы найти длину стороны $AC_1$, рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Он является прямоугольным, так как призма правильная, а значит боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания. Длина бокового ребра $CC_1 = 1$. Длину катета $AC$, который является малой диагональю основания, найдем из правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной 1. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$, то есть $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$ имеем:$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.Отсюда $AC = \sqrt{3}$.Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$ находим гипотенузу $AC_1$:$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.Таким образом, $AC_1 = \sqrt{4} = 2$.

Чтобы найти длину стороны $AD_1$, рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Длина бокового ребра $DD_1 = 1$. Катет $AD$ является большой диагональю основания. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ большая диагональ равна $2a$, поэтому $AD = 2 \cdot 1 = 2$. По теореме Пифагора для треугольника $ADD_1$ находим гипотенузу $AD_1$:$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.Таким образом, $AD_1 = \sqrt{5}$.

Теперь мы знаем все стороны треугольника $AC_1D_1$: $C_1D_1 = 1$, $AC_1 = 2$, $AD_1 = \sqrt{5}$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов для нахождения угла $\angle AC_1D_1$:$AD_1^2 = AC_1^2 + C_1D_1^2 - 2 \cdot AC_1 \cdot C_1D_1 \cdot \cos(\angle AC_1D_1)$.Подставим найденные значения:$(\sqrt{5})^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(\angle AC_1D_1)$$5 = 4 + 1 - 4 \cos(\angle AC_1D_1)$$5 = 5 - 4 \cos(\angle AC_1D_1)$.Отсюда получаем $4 \cos(\angle AC_1D_1) = 0$, и $\cos(\angle AC_1D_1) = 0$. Угол в треугольнике, косинус которого равен нулю, составляет $90^\circ$.

Также можно было заметить, что для сторон треугольника $AC_1D_1$ выполняется равенство $AC_1^2 + C_1D_1^2 = 2^2 + 1^2 = 5 = (\sqrt{5})^2 = AD_1^2$. Согласно обратной теореме Пифагора, это означает, что треугольник $AC_1D_1$ является прямоугольным, и его прямой угол — это $\angle AC_1D_1$.

Ответ: $90^\circ$.

40. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямыми $CC_1$ и $BE_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $CC_1$ и $BE_1$ воспользуемся методом параллельного переноса. Прямая $CC_1$ является боковым ребром правильной шестиугольной призмы и, следовательно, перпендикулярна плоскости основания. Все боковые ребра призмы, включая $CC_1$ и $EE_1$, параллельны и равны между собой.

Заменим прямую $CC_1$ на параллельную ей прямую $EE_1$. Угол между скрещивающимися прямыми $CC_1$ и $BE_1$ будет равен углу между пересекающимися прямыми $EE_1$ и $BE_1$. Эти прямые пересекаются в точке $E_1$ и образуют острый угол $\angle BE_1E$.

Рассмотрим треугольник $BEE_1$. Поскольку призма является правильной (а значит, прямой), боковое ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, ребро $EE_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $E$, в частности, $EE_1 \perp BE$. Таким образом, треугольник $BEE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$.

Тангенс искомого угла $\angle BE_1E$ можно найти из соотношения катетов в прямоугольном треугольнике $BEE_1$:$$ \tan(\angle BE_1E) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BE}{EE_1} $$

Найдем длины катетов $BE$ и $EE_1$.По условию задачи, все ребра призмы равны 1. Значит, длина бокового ребра (высоты призмы) $EE_1 = 1$.Отрезок $BE$ является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$, лежащего в основании призмы. Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = 2a$. Так как сторона основания $a=1$, то длина диагонали $BE = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь можем вычислить тангенс угла:$$ \tan(\angle BE_1E) = \frac{BE}{EE_1} = \frac{2}{1} = 2 $$

Ответ: $2$

41. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $BF_1$ и $CC_1$.

1. Сведение задачи к планиметрической

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BF_1$ и $CC_1$ воспользуемся методом параллельного переноса. В правильной шестиугольной призме все боковые ребра параллельны друг другу. В частности, прямая $CC_1$ параллельна прямой $BB_1$, то есть $CC_1 \parallel BB_1$.

Следовательно, искомый угол между скрещивающимися прямыми $BF_1$ и $CC_1$ равен углу между пересекающимися в точке $B$ прямыми $BF_1$ и $BB_1$. Обозначим этот угол как $\alpha = \angle F_1BB_1$.

2. Рассмотрение треугольника и вычисление его сторон

Угол $\angle F_1BB_1$ является углом в треугольнике $\triangle F_1BB_1$. Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ правильная, её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Это значит, что ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $BB_1 \perp B_1F_1$.

Таким образом, треугольник $\triangle F_1BB_1$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $B_1$.

Найдём длины катетов этого треугольника. По условию, все рёбра призмы равны 1.

Катет $BB_1$ является боковым ребром, поэтому его длина $BB_1 = 1$.

Катет $B_1F_1$ является диагональю в основании — правильном шестиугольнике $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной 1. Эта диагональ соединяет вершины через одну, то есть является малой диагональю шестиугольника. Её длину можно вычислить по теореме косинусов для треугольника $\triangle A_1B_1F_1$. В этом треугольнике стороны $A_1B_1 = A_1F_1 = 1$, а угол между ними $\angle F_1A_1B_1$ как внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$.

$B_1F_1^2 = A_1B_1^2 + A_1F_1^2 - 2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1F_1 \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.

Следовательно, длина катета $B_1F_1 = \sqrt{3}$.

3. Нахождение искомого угла

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle F_1BB_1$ известны оба катета: $BB_1 = 1$ и $B_1F_1 = \sqrt{3}$. Мы можем найти тангенс угла $\angle F_1BB_1$:

$\operatorname{tg}(\angle F_1BB_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{B_1F_1}{BB_1} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, это $60^\circ$.

Итак, $\angle F_1BB_1 = 60^\circ$, что и является углом между прямыми $BF_1$ и $CC_1$.

Ответ: $60^\circ$.

42. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $BA_1$ и $B_1E$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания призмы, правильного шестиугольника $ABCDEF$, находится в начале координат, точке $O(0, 0, 0)$, а высота призмы направлена вдоль оси $Oz$. В условии сказано, что все ребра призмы равны 1. Это означает, что сторона основания равна 1 и высота призмы (длина боковых ребер) также равна 1.

Найдем координаты вершин правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной 1, лежащего в плоскости $Oxy$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине его стороны, то есть 1. Для удобства расположим вершину $A$ на положительной части оси $Ox$.

Координаты необходимых вершин нижнего основания:
$A = (1, 0, 0)$
Поскольку шестиугольник правильный, угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ составляет $60^\circ$. Тогда координаты точки $B$:
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OE}$ составляет $240^\circ$ (или $-120^\circ$). Тогда координаты точки $E$:
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ находятся на высоте $z=1$. Их координаты получаются смещением соответствующих вершин нижнего основания на вектор $(0, 0, 1)$.
Координаты нужных нам вершин верхнего основания:
$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Теперь найдем координаты направляющих векторов для прямых $BA_1$ и $B_1E$.
Для прямой $BA_1$ возьмем вектор $\vec{BA_1}$:
$\vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
Для прямой $B_1E$ возьмем вектор $\vec{B_1E}$:
$\vec{B_1E} = E - B_1 = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 1) = (-1, -\sqrt{3}, -1)$.

Угол $\varphi$ между скрещивающимися прямыми равен углу между их направляющими векторами. Найдем этот угол через скалярное произведение векторов.
$\cos \varphi = \frac{\vec{BA_1} \cdot \vec{B_1E}}{|\vec{BA_1}| \cdot |\vec{B_1E}|}$
Вычислим скалярное произведение в числителе:
$\vec{BA_1} \cdot \vec{B_1E} = (\frac{1}{2}) \cdot (-1) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) + (1) \cdot (-1) = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 1 = \frac{2}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между прямыми $BA_1$ и $B_1E$ составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

43. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $AC$ и $DF_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $DF_1$ воспользуемся координатно-векторным методом.

1. Введение системы координат.

Введем прямоугольную декартову систему координат. Поместим центр нижнего основания призмы (правильного шестиугольника $ABCDEF$) в начало координат $O(0, 0, 0)$. Ось $Ox$ направим вдоль луча $OA$, ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$.

Так как призма правильная и все ребра равны 1, то сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно стороне, то есть 1.

2. Определение координат вершин.

Определим координаты необходимых нам точек. Углы между соседними радиус-векторами, проведенными из центра к вершинам, равны $60^\circ$.

• Точка $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$ на расстоянии 1 от начала координат. Ее координаты: $A(1, 0, 0)$.
• Точка $C$ получается поворотом точки $A$ на $120^\circ$ вокруг оси $Oz$. Ее координаты: $C(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
• Точка $D$ получается поворотом точки $A$ на $180^\circ$ вокруг оси $Oz$. Ее координаты: $D(1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$.
• Точка $F$ получается поворотом точки $A$ на $-60^\circ$ (или $300^\circ$) вокруг оси $Oz$. Ее координаты: $F(1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.
• Точка $F_1$ является проекцией точки $F$ на верхнее основание, которое лежит в плоскости $z=1$. Ее координаты: $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

3. Нахождение направляющих векторов прямых.

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $AC$ и $DF_1$.

• Вектор $\vec{AC}$: $\vec{AC} = \{C_x - A_x; C_y - A_y; C_z - A_z\} = \{-1/2 - 1; \sqrt{3}/2 - 0; 0 - 0\} = \{-3/2; \sqrt{3}/2; 0\}$.
• Вектор $\vec{DF_1}$: $\vec{DF_1} = \{F_{1x} - D_x; F_{1y} - D_y; F_{1z} - D_z\} = \{1/2 - (-1); -\sqrt{3}/2 - 0; 1 - 0\} = \{3/2; -\sqrt{3}/2; 1\}$.

4. Вычисление угла между векторами.

Угол $\theta$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DF_1}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{DF_1} = (-3/2) \cdot (3/2) + (\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) + 0 \cdot 1 = -9/4 - 3/4 + 0 = -12/4 = -3$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

$|\vec{DF_1}| = \sqrt{(3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{12/4 + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь найдем косинус угла между векторами:

$\cos \theta = \frac{-3}{\sqrt{3} \cdot 2} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол между векторами $\theta = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 150^\circ$.

Угол между прямыми по определению является острым углом, поэтому, если угол между направляющими векторами тупой, искомый угол равен $180^\circ - \theta$.

Искомый угол $\alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

44. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми $SA$ и $BC$.

Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми SA и BC воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат, расположив центр O правильного шестиугольника ABCDEF, лежащего в основании пирамиды, в начале координат (0, 0, 0). Пусть основание находится в плоскости Oxy, а вершина пирамиды S — на оси Oz.

Поскольку в основании лежит правильный шестиугольник со стороной 1, его вершины лежат на окружности радиусом R = 1. Найдем координаты необходимых нам вершин:

• A = (1, 0, 0)
• B = ($1 \cdot \cos(60^\circ)$, $1 \cdot \sin(60^\circ)$, 0) = ($\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 0)
• C = ($1 \cdot \cos(120^\circ)$, $1 \cdot \sin(120^\circ)$, 0) = ($-\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 0)

Вершина S имеет координаты (0, 0, h). Найдем высоту пирамиды h, зная, что длина бокового ребра SA равна 2. Используем формулу расстояния между двумя точками:

$SA^2 = (x_A - x_S)^2 + (y_A - y_S)^2 + (z_A - z_S)^2$

$2^2 = (1 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - h)^2$

$4 = 1 + h^2$

$h^2 = 3$, откуда $h = \sqrt{3}$ (так как высота — положительная величина). Таким образом, координаты вершины S: (0, 0, $\sqrt{3}$).

Теперь найдем направляющие векторы для прямых SA и BC.

Вектор $\vec{SA}$ имеет координаты, равные разности координат точек A и S:

$\vec{SA} = (1 - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$

Вектор $\vec{BC}$ имеет координаты, равные разности координат точек C и B:

$\vec{BC} = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$ вычисляется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{SA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{SA}| \cdot |\vec{BC}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{SA} \cdot \vec{BC} = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + (-\sqrt{3}) \cdot 0 = -1$

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{SA}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла между векторами:

$\cos(\alpha) = \frac{-1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

Угол между прямыми по определению является острым или прямым, его величина лежит в пределах от 0 до 90 градусов. Поэтому косинус угла между прямыми не может быть отрицательным. Он равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Пусть $\phi$ — искомый угол между прямыми SA и BC. Тогда:

$\cos(\phi) = |\cos(\alpha)| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

45. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, точка $G$ — середина ребра $SD$. Найдите угол между прямыми $AG$ и $BC$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AG$ и $BC$ воспользуемся методом параллельного переноса. Заменим одну из прямых на параллельную ей, пересекающую вторую прямую.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике сторона $BC$ параллельна большой диагонали $AD$ ($BC \parallel AD$). Следовательно, искомый угол между прямыми $AG$ и $BC$ равен углу между прямыми $AG$ и $AD$. Так как эти прямые пересекаются в точке $A$, то искомый угол равен $\angle GAD$ в треугольнике $GAD$.

Найдем длины сторон треугольника $GAD$ для последующего нахождения угла.

1. Найдем длину $AD$. $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной, равной 1. Длина большой диагонали правильного шестиугольника вдвое больше длины его стороны, поэтому $AD = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Найдем длину $GD$. По условию, точка $G$ — середина ребра $SD$, а длина бокового ребра $SD$ равна 2. Следовательно, $GD = \frac{1}{2} SD = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

3. Найдем длину $AG$. Для этого рассмотрим треугольник $SAD$. Мы знаем, что $SA = 2$ (боковое ребро), $SD = 2$ (боковое ребро) и $AD = 2$ (большая диагональ основания). Так как все стороны треугольника $SAD$ равны 2, он является равносторонним.

Отрезок $AG$ является медианой в равностороннем треугольнике $SAD$, проведенной из вершины $A$ к стороне $SD$. В равностороннем треугольнике медиана также является и высотой. Длину высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Для треугольника $SAD$ со стороной $a=2$ получаем:$AG = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Итак, мы имеем треугольник $GAD$ со сторонами $AG = \sqrt{3}$, $GD = 1$ и $AD = 2$.

Для нахождения угла $\angle GAD$ воспользуемся теоремой косинусов:$GD^2 = AG^2 + AD^2 - 2 \cdot AG \cdot AD \cdot \cos(\angle GAD)$Подставим известные значения:$1^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos(\angle GAD)$$1 = 3 + 4 - 4\sqrt{3} \cos(\angle GAD)$$1 = 7 - 4\sqrt{3} \cos(\angle GAD)$$4\sqrt{3} \cos(\angle GAD) = 6$$\cos(\angle GAD) = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $30^\circ$.Следовательно, $\angle GAD = 30^\circ$.

Заметим также, что для сторон треугольника $GAD$ выполняется равенство $AG^2 + GD^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$ и $AD^2 = 2^2 = 4$. Таким образом, $AG^2 + GD^2 = AD^2$, что по теореме, обратной теореме Пифагора, означает, что треугольник $GAD$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $G$. Тогда $\cos(\angle GAD) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AG}{AD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, что также дает $\angle GAD = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.